ответы к билетам матан 1 семестр docx - 2010 / 06.Определение дифференцируемости ф.Теорема о связи непрерывности с дифференцируемостью

6.Определение дифференцируемости ф.Теорема о связи непрерывности с дифференцируемостью. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке представимо в виде , где А – некоторая константа., где .Иначе говоря, функция f дифференцируема в точке , если её приращение есть линейная функция относительно с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем .

Теорема 4.1   Пусть функция дифференцируема (дифференцируема слева, дифференцируема справа) в точке . Тогда непрерывна (соотв. непрерывна слева, непрерывна справа) в этой точке .

        Доказательство.     Из существования производной

следует, что

откуда

что и означает непрерывность функции в точке .