Лекция 5

Лекция 5 1

5.1. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости рядов Тейлора к исходной функции 1

5.2. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды 3

5.1. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости рядов Тейлора к исходной функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х₀: и имеет производные любого порядка, тогда для этой функции формально можно составить ряд по степеням : , где

Определение 1. Обобщенный степенной ряд вида называется рядом Тейлора для функции по степеням . Если положить , то получим ряд , который носит название ряда Маклорена для функции по степеням х.

Задача. Пусть задана функция , бесконечно дифференцируемая в окрестности точки х₀: , и пусть для этой функции составлен ряд Тейлора по степеням : и его сумма равна . Если интервал , является интервалом сходимости данного ряда с радиусом сходимости R, то можно записать равенство: при всех . Выясним, при каких условиях такой степенной ряд имеет своей суммой функцию , т.е. когда , поскольку существуют функции, для которых сумма ряда Тейлора не совпадает с данной функцией.

Рассмотрим такой пример. Дана функция , которая является бесконечно дифференцируемой . Вычислим производные этой функции в точке : , т.е. все коэффициенты ряда Тейлора-Маклорена для этой функции равны 0, тогда этот ряд сходится на всей оси, его сумма тождественно равна 0: , однако при ( только в начале координат).

Пусть ряд Тейлора имеет интервал сходимости , где R – радиус сходимости. Тогда, если − частичная сумма этого ряда, то существует . Рассмотрим теорему, которая дает условия того, что .

Теорема 1 (необходимый и достаточный признак сходимости ряда Тейлора к функции ). Для того чтобы ряд Тейлора , , имел своей суммой функцию , т.е. , необходимо и достаточно, чтобы для всех существовал предел , где − остаток ряда Тейлора.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть функция есть сумма ряда Тейлора на указанном промежутке: , или , где − частичная сумма ряда Тейлора,  − остаток ряда. Тогда при всех существует предел , и т.к. , то существует предел , т.е. . Необходимость доказана. 2) Достаточность. Пусть существует ; т.к. функция бесконечно дифференцируема при всех , то для нее имеет место формула Тейлора: , , где − остаточный член формулы Тейлора, который совпадает с остатком ряда. Тогда частичная сумма соответствующего ряда Тейлора имеет вид: . Рассмотрим предел , который обозначим через , учитывая, что : , т.е. . Достаточность доказана.

Замечание. Если , то сумма ряда Тейлора может не совпадать с данной функцией (), хотя сам ряд может сходиться к другой функции.

Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к исходной функции не удобно для проверки на практике конкретных рядов; существуют более простые, хотя и более жесткие, достаточные условия разложения функции в ряды Тейлора−Маклорена. Сначала сформулируем лемму.

Лемма. Для любого существует следующий предел:.

Доказательство. Рассмотрим степенной ряд , общий член которого . Найдем радиус и область сходимости этого ряда, используя признак Даламбера: ; вычисляем предел , т.е. радиус сходимости ряда . Следовательно, рассмотренный ряд сходится для всех , тогда по необходимому признаку сходимости общий член ряда , , т.е. для любого .

Теорема 2 (достаточные условия разложимости функции в ряд Маклорена) Пусть функция определена и бесконечно дифференцируема на интервале . Если существует такое число , что для каждого натурального и всех выполняется неравенство: (это означает, что производные любого порядка ограничены одним и тем же числом), тогда остаток ряда Маклорена при , а значит, .

Доказательство. Покажем, что остаток ряда Маклорена стремится к нулю при . Запишем для функции формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа: , где − многочлен Маклорена, а . Отметим, что частичная сумма ряда Маклорена является этим многочленом , а остаток ряда есть . Выполним его оценку, используя условия данной теоремы и учитывая, что для всех : . По лемме при , тогда , . Следовательно, по теореме 1 о необходимом и достаточном признаке сходимости ряда Тейлора−Маклорена к исходной функции получаем . Теорема доказана.

5.2. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды

Используем изложенную выше теорию для разложения основных элементарных функций в степенные ряды. Для разложения функции в степенной ряд по степеням можно рекомендовать следующий порядок действий:

1) Находим производные функции в точке : .

2) Составляем ряд Тейлора .

3) Находим интервал сходимости данного ряда: , где R − радиус сходимости.

4) Исследуем поведение остатка ряда для всех . Если окажется, что , то на основании теорем 1 и 2 делаем вывод, что при всех . В результате получаем формулу разложения функции в степенной ряд.

 Разложение в степенной ряд функции имеет вид:

(1)

Вывод. Рассмотрим ряд геометрической прогрессии , знаменатель которой и . Можно показать, что интервал сходимости этого ряда , и сумма этого ряда (сумма ряда бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле ). Оценим остаток ряда: ; при при , тогда на основании теоремы 1 рассмотренный ряд имеет своей суммой функцию . Разложение (1) имеет место.

 Разложение в степенной ряд функции имеет вид:

(2)

Вывод. Для данной функции запишем ряд Маклорена: ; т.к. − бесконечно дифференцируема, то все производные существуют и имеют вид: . Находим эти производные в точке , получаем , для всех , тогда ряд Маклорена приобретает вид . Этот ряд сходится для всех . Фиксируем некоторое число и рассмотрим некоторый отрезок [−a, a], на котором для любого . В этом случае по теореме 2 данный ряд Маклорена будет сходиться на указанном отрезке к исходной функции . Отметим, что это верно для любого фиксированного числа . Разложение (2) имеет место при всех .

 Разложение в степенной ряд функции имеет вид:

, (3)

Вывод. Для функции запишем ряд Маклорена . Находим все производные: , , , , …, . В точке х = 0 получаем: . Подставив эти значения в ряд Маклорена, получаем ряд: . Данный ряд сходится при любом . В силу теоремы 2 (поскольку , т.е. все производные ограничены одним и тем же числом) данный ряд Маклорена будет сходиться к исходной функции при всех . Таким образом, имеет место разложение (3).

 Разложение в степенной ряд функции имеет вид:

,  (4)

Вывод. Рассмотрим разложение (3) , . Продифференцируем данный ряд; получившийся новый ряд будет также сходиться при всех к функции, которая равна производной от (свойство 3, лекция 4), т.е. . Таким образом, разложение (4) имеет место.

 Разложение в степенной ряд функции имеет вид:

(5)

Приведем это разложение без вывода; отметим, что оно верно при фиксированном и называется биномиальным рядом. При натуральном этот ряд представляет собой конечную сумму, известную как бином Ньютона: . Для нецелых m имеет место формула Тейлора: . При из этой формулы получаем бесконечный степенной ряд (5). Найдем радиус его сходимости, применяя признак Даламбера. , ; вычисляем предел: , тогда при биномиальный ряд сходится и его радиус сходимости , а интервал сходимости − (−1;1) (можно показать, что ). Итак, разложение (5) верно для всех . В частном случае, когда , из разложения (5) получаем ряд , который при абсолютно сходится. Если в каждом члене ряда заменить х на (− х), то получим разложение (1): .

 Разложение в степенной ряд функции имеет вид:

(6)

Вывод. Из разложения (5) биномиального ряда при получаем ряд , который является рядом геометрической прогрессии с , который сходится при , т.е. этот ряд имеет радиус сходимости и интервал сходимости − (−1;1). Полученный ряд почленно интегрируем на отрезке , используя свойство 3 (лекция 4), при этом интервал сходимости сохранится:

.

Сумма полученного ряда равна (или , т.к. ). Таким образом, , т.е. имеет место разложение (6) при . Исследуя сходимость данного ряда в точке , получаем числовой ряд , который условно сходится. В итоге, область сходимости ряда в разложении (6) имеет вид , а радиус сходимости .

 Разложение в степенной ряд функции имеет вид:

(7)

Вывод. Из разложения (5) биномиального ряда при получаем разложение , из которого заменой на вытекает следующий ряд: , который сходится при , а именно, при . Полученный ряд почленно интегрируем на отрезке , используя свойство 3 (лекция 4), при этом интервал сходимости сохранится: .

Сумма полученного ряда . Таким образом, , т.е. разложение (7) имеет место при . Исследуя полученный ряд в точках и , получаем два условно сходящихся числовых ряда и соответственно. В итоге, область сходимости ряда в разложении (7) является отрезком , а радиус сходимости R равен 1.

 Разложение в степенной ряд функции имеет вид:

(8)

Вывод. Из разложения (5) биномиального ряда при и при замене на получаем разложение . Получившийся ряд сходится при . Этот ряд почленно проинтегрируем на отрезке , используя свойство 3 (лекция 4), при этом интервал сходимости сохранится:

. Сумма полученного ряда . Таким образом, , т.е. имеет место разложение (8) на интервале сходимости .

В заключение добавим, что разложения − называют основными разложениями элементарных функций в степенной ряд, которые используются как эталонные для разложения других функций.

7