3.1.4. Выявление и исключение промахов из серии измерений

При проведении ряда одинаковых измерений всегда будет некоторый статистический разброс его результатов. При этом могут встретиться измерения с большими случайными ошибками, которые являются естественным статистическим отклонением. Их незаконное отбрасывание (считая их промахами) может необоснованно завысить и сделать фиктивной точность всего ряда измерений. С другой стороны, измерения с большими случайными ошибками могут оказаться промахами. Их наличие в серии из небольшого числа измерений может исказить как среднее значение измеряемой величины, так и границы доверительного интервала. Поэтому в процессе обработки результатов наблюдения промахи надо выявить и исключить из дальнейшего анализа.

Наиболее простой способ исключения грубых ошибок основан на том, что вероятность появления значения, уклоняющегося от среднего арифметического более чем на З, равна 0,003 и поэтому результаты, вероятность получения которых меньше 0,003, можно считать промахом:

где – приближенное значение ошибки каждого измерения;– средняя квадратичная погрешность.

При этом считают маловероятным, чтобы модуль ошибки превысил 3. Если же найдется какое-нибудь_i, модуль которого превышает 3, то такое измерение считается содержащим промах и отбрасывается. В некоторые виды задач вводят условие исключения измерения, у которого |_і| >2. После отбрасывания промаха приближенные значенияивычисляются заново [1].

В рассмотренном способе вероятность появления отклонений от среднего значения при заданной надежности при одном измерении равна. Вероятностьвозрастает при увеличении числа измеренийп:. Это значит, что, например, при= 0,997 вероятность того, что из десяти измерений хотя бы одно будет случайно отличаться от среднего более чем на 3, будет уже не 0,003, а 0,03. Кроме того, при проведении измерений точное значениенеизвестно, и ее значение приближенно заменяетсяSпо (11). Поэтому при выявлении промахов целесообразно применять критерии, не связанные со значением. Теория вероятностей определяетмаксимальное относительноеотклонение, имеющее специальное распределение, зависящее от числа измерений [2]. В прил. 4 приведены данные этого распределения при различныхп и надежности= 1 – . Для применения этой таблицы надо вычислить среднее арифметическое и среднюю квадратичную погрешностьS_пиз всех измерений. Если найтиU_k– относительное отклонение от среднего арифметического измеренияа_k, которое может оказаться промахом, в доляхS_п:

, (15)

то при (при заданном значенииили) значениеа_k, резко выделяющееся из сериипизмерений, можно рассматривать как промах; призначениеа_kявляется следствием статистического разброса. При малом числе измерений в (15) вводится поправочный множитель.

3.1.5. Правила суммирования случайных и систематических погрешностей для партии восстанавливаемых деталей

Погрешность сложных измерительных приборов зависит от погрешностей отдельных его частей, которые суммируются по определенным правилам.

Пусть, например, измерительный прибор состоит из mблоков, каждый из которых обладает независимыми друг от друга случайными погрешностями. При этом известны абсолютные значения средних квадратичных_kили максимальныхM_kпогрешностей каждого блока.

Арифметическое суммирование илидает максимальное значение всех возможных погрешностей прибора, которое имеет ничтожно малую вероятность и поэтому редко используется для оценки точности работы прибора в целом. Согласно теории ошибок, результирующая погрешность_резиМ_резопределяется сложением по квадратичному закону:

или.

Аналогично определяется и результирующая относительная погрешность измерения

. (16)

Уравнение (16) можно применять для определения допустимых погрешностей отдельных элементов приборов с заданной общей погрешностью измерения. Если в измерительной схеме существует несколько источников погрешностей, которые на конечный результат измерения влияют полностью или частично (или прибор состоит из нескольких элементов), в (16) следует ввести поправочные коэффициенты К_i:

, (17)

где ₁,₂, ,_m– относительные погрешности отдельных приборов или элементов (узлов, блоков) измерительной схемы;K₁,K₂,…,K_m– коэффициенты, учитывающие степень влияния случайной погрешности данного измерительного прибора или его блоков на результат измерения.

При наличии у измерительного прибора (или его блоков) также и систематических погрешностей общая погрешность определяется их суммой

,

где _c(i)– систематическая погрешность от воздействия наi-й блок-го фактора;_i– случайные погрешности дляi-го блока. Суммирование зависимых друг от друга составляющих погрешностей, т.е. погрешностей, имеющих взаимную корреляционную связь, основано на следующем положении теории вероятностей: дисперсия суммы двух корреляционных случайных величин, характеризующихся дисперсиямиии коэффициентами корреляцииr₁₂, определяется выражением

.

Из этого следует, что средняя квадратичная результирующая погрешность вычисляется по формуле

. (18)

На практике обычно пользуются двумя крайними случаями (18): при сильной взаимосвязи случайных величин, когда, составляющие погрешности суммируются алгебраически:

;

при слабой связи, когда , погрешности независимы и суммируются геометрически

.

Такой же подход справедлив и для бóльшего числа составляющих коррелированных погрешностей [1, 2].

При оценке влияния частных погрешностей следует учитывать, что точность измерений в основном зависит от погрешностей, бóльших по абсолютной величине, а некоторые наименьшие погрешности можно вообще не учитывать. Частная погрешность устанавливается на основании так называемого критерия ничтожной погрешности, который заключается в следующем. Допустим, что суммарная погрешность_резопределена по (16) с учетом всехт частных погрешностей, среди которых некоторая погрешность_iимеет малое значение. Если суммарная погрешность_рез, вычисленная без учета погрешности₁, отличается от_резне более чем на 5%, т.е.или, то_iможно считать ничтожной погрешностью. Принимая во внимание, что, можно легко установить критерий ничтожной погрешности:. Это означает, что если частная погрешность меньше 30% общей погрешности, то этой частной погрешностью можно пренебречь. В случае нескольких погрешностей критерий ничтожности их совокупности имеет вид:

.

В практике технических расчетов часто пользуются менее строгим критерием – в эти формулы вводят коэффициент 0,4.