TViMS

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают α.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают β .

Статистическим критерием (или просто критерием) называют слу-

чайную величину K , которая служит для проверки гипотезы.

Обычно статистические критерии выражаются числами, которые вы-

числяются по вариантам выборки, или находятся теоретически. Значение критерия, найденное на основе выборки наблюдений случайной величины

X , называют выборочным и обозначают Kв . Значение критерия, которое находится по таблице, называется теоретическим и обозначается KТ .

Проверка статистической гипотезы основывается на принципе, в соот-

ветствии с которым маловероятные события считаются невозможными, а

события, имеющие большую вероятность, считаются достоверными.

Критической областью называют совокупность значений критерия,

при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.

Можно сформулировать следующий основной принцип проверки статисти-

ческих гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит крити-

ческой области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Критическими точками (границами) kкр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

113

Правосторонней называют критическую область, определяемую нера-

венством K kкр , где kкр – положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую нера-

венством K kкр , где kкр – отрицательное число.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравен-

ством K k1 K k2 , где k2 k1 .

В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении, что kкр 0 ) K kкр , K kкр или K kкр .

Для отыскания критической области задаются уровнем значимости и

ищут критические точки, исходя из следующих соотношений:

тать, что гипотеза H 0 не противоречит результатам наблюдений; если Kв Vk , то отклонить гипотезу H 0 как не согласующуюся с результатами наблюдений.

114

Пример 1. Даны результаты наблюдений некоторой случайной величины X . Проверить гипотезу о ее нормальном распределении.

Решение

1. Построим гистограмму относительных частот (рис. 4), данные для ее

117

Рис. 4

2. По виду гистограммы можно предположить, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение – N a, 2 .

Функция плотности вероятности нормального распределения имеет вид

В качестве значений параметров распределения возьмем их оценки, полученные на основе опытных данных. Оценкой параметра a является величина

Итак, выдвигаем гипотезу о том, что изучаемая случайная величина имеет функцию плотности вероятности

118

Ее график построим на том же чертеже, что и гистограмму (рис. 4). Для построе-

точки следует соединить плавной линией, учитывая форму кривой нормаль-

ных выводов на основе критерия хи-квадрат нужно объединить первый интервал, содержащий мало наблюдений, со вторым интервалом. Тогда имеем всего

попадания исследуемой случайной величины в каждый интервал, согласно гипотезе. В случае нормального распределения они вычисляются по формуле:

119

потезу о нормальном распределении следует отвергнуть. Следует отм е- тить, что вероятность того, что мы ошибаемся, меньше 0,05.

3. Линейная корреляция

Две случайные величины X и Y могут быть функционально зависимы,

статистически зависимы или независимы. Наиболее простой формой зависи-

мости между величинами является функциональная зависимость, при которой каждому значению одной величины соответствует определенное значение дру-

гой. Однако на практике связь между величинами носит случайный характер.

Статистической называется зависимость, при которой изменение одной из случайных величин ведет к изменению закона распределения другой величины. В частности, если при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, то статистическая зависимость называется кор-

реляционной. Статистическая зависимость более сложна, чем функцио-

нальная. Она возникает, если одна величина зависит не только от другой,

но и от ряда прочих случайных факторов. Примерами статистической за-

висимости являются связи между ростом ребенка и его возрастом, между урожайностью ягодных культур и их рыночными ценами, между темпера-

турой закалки и твердостью стали и т. д.

120

Пусть произведено n независимых опытов, в которых наблюдались случайные величины X и Y . В результате опытов получены пары чисел

В первой строке таблицы указаны наблюденные значения случайной величины Y : y1 , y2 ,..., yk ; в первом столбце – величины X : x1, x2 ,..., xl . На

пересечении строк и столбцов вписаны частоты ni j наблюдаемых пар значений случайных величин. Пустая клетка означает, что соответствую-

щая пара чисел в результате опытов не наблюдалась. В столбце nx записа-

ны суммы частот строк, в строке ny – суммы частот столбцов, причем

__

Назовем условным средним y x среднее арифметическое значений случай-

ной величины Y , соответствующих значению X x .

__

Уравнение yx f (x) называют уравнением регрессии Y на X ; функ-

цию f (x) называют регрессией Y на X , а ее график – линией регрессии.

Если функция регрессии f (x) известна, то можно по значению одной слу-

121

чайной величины прогнозировать значение другой случайной величины. Корреляция называется линейной, если линия регрессии является прямой,

гаются около некоторой прямой, то в качестве уравнения теоретической линии регрессии берется f x ax b , где коэффициенты находятся по формулам:

Рис.5

Ковариацией двух случайных величин X и Y называется числовая характе-

ристика cov X ,Y M X Y M X M Y .

x y

квадратические отклонения величин X и Y .

Коэффициент корреляции rx y характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами X и Y , при этом связь тем

122