Методичка по физике / -7 Динамика вращательного движения

3. Динамика вращательного

движения

	Это нужно понять и запомнить!
3.1. Основные законы и формулы

• Момент инерции материальной точки:

I = mr² ,

где m- масса точки; r – расстояние до оси вращения.

• Момент инерции системы (тела):

,

• где r_i – расстояние материальной точки массой m_i – до оси вращения. В случае непрерывного распределения масс

.

• Моменты инерции некоторых однородных тел правильной геометрической формы (m – масса тела):

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии	mR2
Сплошной цилиндр или диск радиуса R	То же
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
То же	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

• Теорема Штейнера:

где I_C – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; I – момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии a; m – масса тела.

• Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

,

где I_z − момент инерции тела относительно оси z; ω − его угловая скорость

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

где m – масса тела; – скорость центра масс тела; – момент инерции относительно оси, проходящей через его центр масс; ω – угловая скорость тела.

• Момент силы относительно неподвижной точки:

M = [rxF] ,

где r − радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы F. Модуль момента силы:

M = Fl ,

где l − плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

• Работа при вращении тела:

,

где − угол поворота тела: − момент силы относительно оси z.

• Момент импульса (момент количества движения) системы материальных точек относительно оси вращения:

где – расстояние от оси z до отдельной частицы с импульсом , – момент инерции системы относительно оси z; ω – угловая скорость системы.

• Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси (уравнение моментов):

, ,

где ε – угловое ускорение; – момент инерции тела относительно оси z.

• Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы:

K = const .

3.2. Примеры решения задач

3-1. Выведете формулу для момента инерции полого шара относительно оси, проходящей через его центр. Масса шара равна m, внутренний радиус равен r, внешний – R, соответственно.

Решение: Очевидно, что искомый момент инерции равен разности моментов инерции сплошного шара и малого шара, который заполнил бы полость, т.е.

где .

Подставляя выражения для масс М и в исходную формулу и выражая через m, после несложных вычислений получаем: .

3-2. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определите, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

Решение: Для кинетической энергии катящихся тел имеет место выражение , причем, . В приведенной выше таблице можно найти, что ,

. Отсюда: , .

Ответ: .

3-3. Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = A + Bt²+ Ct³ (B = 2 рад/с², C = -0,5 рад/с²). Определите момент сил M для t = 3 c.

Решение: По определению , .

, .

Ответ: -0,1 Н∙м.

3-4. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, вращается по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси (см. рисунок) . На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определите, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

Решение: Так как внешние силы отсутствуют, то момент импульса системы «человек-платфрма» должен сохраняться и при перемещении человека, т.е.

откуда .

; .

Ответ:

Рисунок к задаче 3-4	Рисунок к задаче 3-5

3-5. Тело массой m₁ =0,25 кг, соединенное невесомой нитью посредством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом массой m₂ = 0,2 кг, скользит по поверхности горизонтального стола. Масса блока m = 0,15 кг. Коэффициент трения k тела о поверхность равен 0,2. Пренебрегая трением в подшипниках, определите: 1) ускорение a, с которым будут двигаться эти тела; 2) силы натяжения нитей T₁ и T₂ по обе стороны блока.

Решение: Запишем, прежде всего, уравнения движения для тел:

, I = mR², , ,

, → . ,

. Выполняя соответствующие вычисления, получим:

а = 2,45 м/с²; , .

3.3. Вопросы и задачи

3.01. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена постоянная касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения M_тр = 4,9 Нм. Найти массу m диска, если известно, что он вращается с постоянным угловым ускорением ε = 100 рад/с².

3.02. Однородный стержень длиной 1 м и массой 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизон­тальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением вращается стержень, если вращающий момент равен ?

3.03. Два шара радиусом 5 см закреплены на концах тонкого стержня, вес которого значительно меньше веса шаров. Расстояние между центрами шаров R = 0,5 м. Масса каждого шара m = 1 кг. Найти момент инерции I этой системы относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно его длине.

3.04. К ободу колеса, имеющего форму диска, радиу­сом R = 0,5 м и массой m = 5 кг приложена касательная сила в 98 н. Найти: 1) угловое ускорение колеса; 2) через сколько времени после начала действия силы колесо будет иметь скорость, соответствующую 100 об/с.

3.05. Маховик радиусом R = 0,5 м и массой m = 10 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Натяжение ремня, идущего без скольжения, постоянно и равно T = 98 Н. Какое число оборотов в секунду будет делать маховик через Δt = 10 с после начала движения. Маховик считать однородным диском.

3.06. Две гири весом P₁ = 2 кГ и P₂ = 1 кГ соединены нитью и перекинуты через блок весом P = 1 кГ. Найти ускорение a, с которым движутся гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.

3.07. Через блок весом P = 1 кГ перекинута нить с привязанными к ней гирями весом P₁ = 1 кГ и P₂ = 2 кГ. Найти натяжения T₁ и T₂ нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.

3.08. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого равен I = 0,1 кг·м², намотан шнур, к которому привязан груз P₁ = 0,5 кГ. До начала вращения барабана высота груза P₁ над полом равна h = 1 м. Через сколько времени груз коснется пола?

3.09. Диск весом в 2 кГ катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Найти кинетическую энергию диска.

3.10. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого равен I = 0,1 кг·м², намотан шнур, к которому привязан груз P₁ = 0,5 кГ. До начала вращения барабана высота груза P₁ над полом равна h = 1 м. Найти кинетическую энергию груза в момент удара о пол.

3.11. Шар диаметром 6 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая 4 об/с. Масса шара 0,25 кг. Найти кинетическую энергию шара.

3.12. Обруч и диск имеют одинаковый вес P и катятся без скольжения с одинаковой линейной скоростью v. Кинетическая энергия обруча равна T₁ = 39,2 H·м. Найти кинетическую энергию T₂ диска.

3.13. Кинетическая энергия вала, вращающегося с постоянной угловой скоростью, соответствующей 5 об/с, равна 60 Дж. Найти момент количества движения этого вала.

3.14. Небольшой шарик массы m, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, и затем отпустили. Найти полное ускорение шарика и натяжение нити в зависимости от θ − угла отклонения нити от вертикали.

3.15. Небольшой шарик массы m, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, и затем отпустили. Найти натяжение нити в момент, когда вертикальная составляющая скорости шарика максимальна.

3.16. Небольшой шарик массы m, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, и затем отпустили. Найти угол θ между нитью и вертикалью в момент, когда вектор полного ускорения шарика направлен горизонтально.

3.17. Частица массы m движется по окружности радиуса R. Найти модуль среднего вектора силы, действующей на частицу на пути, равном четверти окружности, если частица движется равномерно со скоростью v.

3.18. Частица массы m движется по окружности радиуса R. Найти модуль среднего вектора силы, действующей на частицу на пути, равном четверти окружности, если частица движется с постоянным тангенциальным ускорением a_τ без начальной скорости.

3.19. Найти момент инерции и момент количества движения земного шара относительно оси вращения.

3.20. Через цилиндрический блок массы и радиуса R перекинута нить с привязанными на ее концах телами массами и . Скольжения нити и трения в оси блока нет. Найти угловое ускорение блока.

3.21. Через блок массы m и радиуса R перекинута нить с привязанными на ее концах телами массами и . Скольжения нити и трения в оси блока нет. Найти отношение натяжений T₁/T₂ вертикальных участков нити в процессе движения.

3.22. Маховик с начальной угловой скоростью начинает тормозиться силами, момент которых относительно его оси пропорционален квадратному корню из его угловой скорости. Найти среднюю угловую скорость маховика за все время торможения.

3.23. Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны и , а угловые скорости − и . После падения верхнего диска на нижний оба диска благодаря трению между ними начали через некоторое время вращаться как единое целое. Найти установившуюся угловую скорость вращения дисков.

3.24. Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны и , а угловые скорости − и . После падения верхнего диска на нижний оба диска благодаря трению между ними начали через некоторое время вращаться как единое целое. Найти работу, которую совершили при этом силы трения.

3.25. Горизонтальная платформа m = 25 кг и радиусом R = 0,8 м вращается с частотой =18мин^-1. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определите частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от = 3,5 кг∙м² до = 1 кг∙м².

3.26. Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой M = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой = 10 мин^-1, переходит к ее центру (см. рисунок). Считая платформу круглым однородным диском, а человека точечной массой, определите, какой частотой n₂ будет тогда вращаться платформа.

3.27. С наклонной плоскости (см. рисунок), составляющей угол α = 30^о с горизонтом, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определите время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см.

Рисунок к задаче 3.26	Рисунок к задаче 3.27

3.28. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 20 см, момент инерции которого I = 0,15 , намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определите: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол.

3.29. Оцените период вращения T, с каким бы стало вращаться Солнце, если бы оно превратилось в нейтронную звезду, имеющую среднюю плотность вещества ρ = 10¹⁷ кг/м³. Средняя плотность вещества Солнца ρ₀ = 1,4∙10³ кг/м³, а период его вращения T₀ = 2,2∙10⁶ с.

3.30. Вычислить радиус инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси L, параллельной оси цилиндра и отстоящей от нее на расстоянии 3 см, если радиус цилиндра равен 4 см.

3.31. В тонком однородном круглом диске радиуса R высверлено концентрическое отверстие радиуса r. Вычислить момент инерции этого диска массы M относительно оси z, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости диска.

3.32. Тяжелый однородный стержень длины 2l подвешен одним концом к горизонтальной оси О перпендикулярно чертежу, и находится в вертикальном положении. В начальный момент времени стержень имеет угловую скорость . Совершив поворот на угол , стержень отрывается от оси подвеса О и начинает совершать свободное движение в поле силы тяжести. Найти скорость центра масс стержня и угловую скорость его вращения после отрыва.

3.33. Два цилиндра одинаковой массы и радиуса скатываются без скольжения по наклонной плоскости. Первый цилиндр сплошной, массу второго цилиндра можно считать равномерно распределенной по ободу. Найти зависимость между скоростями центров масс цилиндров при опускании их на одну и ту же высоту. В начальный момент цилиндры находились в покое.

3.34. Два цилиндра одного веса и размера скатываются без проскальзывания с нулевой начальной скоростью с одной высоты по наклонной плоскости, имеющей угол  с горизонтом. Масса первого цилиндра равномерно распределена по ободу, а второй цилиндр - сплошной. Определить отношение ускорений центров цилиндров.

3.35. Однородная нить длины L, часть которой лежит на гладком горизонтальном столе, движется под влиянием силы тяжести другой части, которая свешивается со стола. Определить промежуток времени Т, по истечении которого нить покинет стол, если известно, что в начальный момент длина свешивающейся части равна l, а начальная скорость равна нулю.

3.36. Однородный стержень АВ длины a поставлен в вертикальной плоскости под углом к горизонту так, что концом А он опирается на гладкую вертикальную стену, а концом В – на гладкий горизонтальный пол; затем стержню предоставлено падать без начальной скорости. 1) Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня. 2) Найти, какой угол будет составлять стержень с горизонтом в тот момент, когда он отойдет от стены.

3.37. Однородный стержень AB длины L = 0,5 м. и массы m движется в плоскости рисунка. Скорость точки A равна 2 м/с. и образует угол /3 со стержнем. Скорость точки B образует угол /4 со стержнем. Найти модуль скорости точки B и угловую скорость стержня, а также количество движения и момент количества движения стержня относительно его центра масс.

3.38. Сплошной однородный цилиндр массы m и радиуса r обмотан нитью и падает, разматывая нить. Считать свободный участок нити во время движения вертикальным. Найти ускорение центра цилиндра.

3.39. Материальная точка (частица) массы т брошена под углом с к горизонту с начальной скоростью (см. рисунок). Траектория полета частицы лежит в плоскости xOy (ось Oz направлена «на нас»). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времени: 1) момента M силы, действующей на частицу, 2) момента импульса K частицы. Оба момента берутся относительно точки бросания.

Рисунок к задаче 3.39	Рисунок к задаче 3.40

3.40. Тележка поворотного подъемного крана движется с постоянной скоростью v относительно стрелы. Мотор, вращающий кран, создает в период разгона постоянный момент, равный . Определить угловую скорость вращения крана в зависимости от расстояния x тележки до оси вращения АВ, если масса тележки с грузом равна M, I – момент инерции крана (без тележки) относительно оси вращения; вращение начинается в момент, когда тележка находится на расстоянии от оси АВ.

3.41. Найти отношение скоростей центров двух цилиндров массы m и радиуса r, разматывающих нить, в зависимости от z. Один цилиндр однородный сплошной, а масса другого распределена по ободу.

3.42. Два груза и , соответст­венно массы и , соединен­ные нерастяжимой ни­тью, переброшен­ной через блок А, скользят по гладким боковым сторонам прямоугольного клина, опирающегося основанием ВС на гладкую горизонтальную плоскость. Найти перемещение клина по горизонтальной плоскости при опускании груза на высоту h=10 см. Масса клина ; массой нити и блока пренебречь.

Рисунок к задаче 3.42	Рисунок к задаче 3.43

3.43. Эллиптический маятник состоит из ползуна массы m, находящегося на гладкой плоскости, и шарика A той же массы, соединенного с ползуном однородным стержнем длины L той же массы. Стержень может вращаться вокруг ползуна. Стержень приведен в горизонтальное положение и отпущен без начальной скорости. Определить угловую скорость стержня в момент, когда шарик будет находиться в нижнем положении.