Методичка по физике / -6 Основные законы динамики

2. Основные законы дИНАМИКи

	Это нужно понять и запомнить!
2.1. Основные законы и формулы

• Импульс (количество движения) материальной точки или движущегося поступательно твердого тела:

p = mv .

• Основной закон механики (второй закон Ньютона) (основное уравнение динамики материальной точки):

.

• Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории

; .

• В неинерциальной OX’Y’Z’ системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси, уравнение движения принимает вид:

ma’ = F +mω²R + 2m[v’ x ω] ,

где R – радиус-вектор точки относительно оси вращения OX’Y’Z’ системы.

• Закон сохранения импульса для замкнутой системы:

,

где N – число материальных точек или тел, входящих в систему.

• При центральном неупругом ударе двух тел с массами m₁, m₂ и скоростями v₁, v₂ соответственно, общая скорость u движения этих тел после удара находится из выражения:

,

где v₁, v₂ – скорости шаров до удара.

• При центральном упругом ударе скорости шаров после удара u₁, u₂ могут быть найдены по формулам:

,

.

• Координаты центра масс системы материальных точек

,

где m_i – масса i-й материальной точки, а r_i – ее радиус-вектор.

• Уравнение движения центра масс системы:

,

где F_внеш – результирующая всех внешних сил.

• Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского):

,

где u – скорость отделяемого (присоединяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.

• Работа и мощность силы:

, P = Fv .

• Кинетическая энергия поступательно движущегося тела:

.

• Приращение кинетической энергии материальной точки:

T₂ – T₁ = A ,

где A − работа всех сил, действующих на частицу.

• Убыль потенциальной энергии частицы в поле:

U₁ – U₂ = A_поля ,

где A_поля – работа сил поля.

• Связь между консервативной силой и потенциальной энергией материальной точки (частицы) в поле:

,

,

где i, j, k – единичные векторы декартовых осей координат

• Приращение полной механической энергии в поле:

,

где E = E_соб + U_внеш = (T + U_соб) + U_внеш ; U_соб - собственная потенциальная энергия системы; U_внеш - потенциальная энергия системы во внешнем поле; − работа внешних сторонних сил, т. е. внешних сил, не принадлежащих к силам данного поля; − работа всех внутренних диссипативных сил (сил трения и сопротивления).

2.2. Примеры решения задач

2-1. Автомобиль массой 2000 кг останавливается за время t = 6с, пройдя при этом расстояние s =30 м. Определите: 1) начальную скорость машины; 2) силу торможения.

Решение: Рассматривая обратный торможению процесс, можно записать: и v₀ = at. Исключая из этих равенств ускорение a, получаем 10 м/с или 36 км/ч. Так как вся кинетическая энергия автомобиля затрачивается на работу против сил трения, то, следовательно, , откуда следует, что = 3,33 кН.

2-2. Частица массы m движется под действием силы F. В момент t = 0 известны ее радиус-вектор r(0) и скорость v(0) – начальные условия. Найти положение частицы, т. е. ее радиус-вектор r, в зависимости от времени t, если:

1) F = F₀sinωt, r(0) = 0, v(0) = 0;

2) F = -kv, r(0) = 0, v(0) = v₀.

Здесь F₀ – постоянный вектор, ω и k – положительные постоянные.

Решение 1: Согласно основному уравнению динамики

Отсюда находим элементарное приращение dv(dt) и интегрируем полученное равенство в пределах от 0 до t:

С учетом начальных условий окончательно получаем:

Так как dr = v(t)dt, то, проинтегрировав полученное выражение еще раз по времени, с учетом начальных условий найдем искомую зависимость:

Решение 2: Схема решения та же, что и в первом случае:

Для интегрирования уравнений движения необходимо прежде всего от векторной формы dv/dt = -(k/m)v перейти к скалярной – модулю вектора v: dv/dt = -(k/m)v. Интегрирование этого уравнения с учетом начальных условий приводит к выражению ln(v/v₀) = -(k/m)t. После потенцирования возвращаемся к векторной форме:

.

Интегрирование этого выражения с учетом начальных условий приводит к результату:

2-3. Насос мощностью N используют для откачки нефти с глубины h. Определите массу жидкости, поднятой за время t, если КПД насоса равен η.

Решение: Отсюда

2-4. Железнодорожная платформа в момент t = 0 начинает двигаться под действием постоянной силы тяги F. Пренебрегая трением в осях, найти зависимость от времени скорости платформы v(t), если платформа нагружена песком, который высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью μ (кг/с), а в момент t = 0 масса платформы с песком равна m₀.

Решение: В этом случае реактивная сила равна нулю и уравнение Мещерского будет иметь вид

Проинтегрировав это уравнение с учетом начальных условий, получим

2-5. Снаряд массой m = 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость v = 300 м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем больший осколок массой m₁ = 3 кг полетел в обратном направлении со скоростью v₁ = 100 м/с. Определить скорость v₂ второго, меньшего, осколка.

Решение: Запишем закон сохранения импульса и спроецируем это равенство на направление движения снаряда (горизонталь в верхней точке траектории) ;

Так как m₂ = m – m₁, то = 900 м/с.

2.3. Вопросы и задачи

2.01. Ньютон определял массу как меру количества вещества, заключенного в теле. Почему в современной физике это определение не используется? В каких явлениях наиболее ярко проявляется противоречие между современной и ньютоновской определениями массы?

2.02. Тело движется с постоянной скоростью в космическом пространстве. В некоторый момент времени на него начинает действовать сила. В каком направлении будет двигаться тело? Зависит ли ускорение, приобретаемое телом, от: а) направления силы; б) момента начала действия силы; в) скорости тела?

2.03. Сформулируйте принцип суперпозиции сил. Всегда ли он справедлив? Рассмотрите примеры:

1) К упругому телу приложена сила, растягивающая его на величину х₁, затем сила, растягивающая его на величину х₂. Чему будет равно растяжение тела при одновременном действии обеих сил?

2) К незаряженному телу подносятся заряды q₁ и q₂, ко­торые поляризуют его. Будет ли сила, действующая на тело в этом случае, равна векторной сумме сил, дейст­вующих при наличии только заряда q₁или только q₂?

З) Тело двигается в направлении оси OХ со скоростью v₁, а вдоль оси OY — со скоростью v₂. коэффициент тре­ния равен µ. Чему равна сила трения, действующая на тело, если сила трения пропорциональна скорости? квадрату скорости? Выполняется ли принцип суперпо­зиции сил в этих случаях?

2.04. Аэростат массы m начал опускаться с постоянным ускорением a. Определить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь.

2.05. Какую массу балласта надо сбросить с равномерно опускающегося аэростата, чтобы он начал подниматься с той же скоростью. Масса аэростата 1600 кг, подъемная сила аэростата 11760 Н. Силу сопротивления воздуха считать одинаковой при подъеме и при спуске.

2.06. На гладкую горизонтальную плоскость помещены три массы m₁, m₂ и m₃, связанные нитями между собой и с массой M, привязанной к нити, перекинутой через блок. Найти ускорение системы и натяжение всех нитей.

2.07. На гладком горизонтальном столе лежат 4 одинаковых кубика с массой m каждый. Постоянная сила действует на первый кубик в направлении вдоль стола. Найти результирующую силу, действующую на каждый кубик. С какой силой второй кубик действует на третий?

Рисунок к задаче 2.07	Рисунок к задаче 2.08

2.08. Два груза соединены весомой однородной нитью так, как это показано на рисунке. Массы грузов m₁ = m, m₂ = 2m/3, нити m_н = m/3. При какой длине вертикального отрезка нити x силы, действующие на грузы со стороны нити, окажутся равными? Чему равны эти силы? Каково ускорение системы в этом случае?

2.09. На нити, перекинутой через блок, подвешены два тела с неравными массами m₁ и m_2. Найти ускорение масс, натяжение нити T и силу F , действующую на ось блока.

2.10. Найти ускорения a₁ и a₂ масс m₁ и m₂, а также натяжение нити T в системе, изображенной на рисунке.

Рисунок к задаче 2.09	Рисунок к задаче 2.10

2.11. Небольшое тело A начинает скользить с вершины клина, основание которого l = 2,1 м. Коэффициент трения между телом и поверхностью клина k = 0,14. При каком значении угла  время соскальзывания будет наименьшим? Чему оно равно?

2.12. Брусок массы m втаскивают за нить с постоянной скоростью вверх по наклонной плоскости, составляющей угол  с горизонтом. Коэффициент трения равен k. Найти угол , который должна составлять нить с наклонной плоскостью, чтобы натяжение нити было наименьшим? Чему оно равно?

2.13. На столе лежит доска массы m₁ = 1 кг, а на доске – груз массы m₂ = 2 кг. Какую силу F нужно приложить к доске, чтобы доска выскользнула из-под груза? Коэффициент трения между грузом и доской k₂ = 0,25, а между доской и столом k₁ = 0,5.

2.14. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы m₁ и на ней брусок массы m₂. К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем по закону F = bt, где b – постоянная. Найти зависимости от t ускорений доски и бруска, если коэффициент трения между доской и бруском равен k. Изобразить примерные графики этих зависимостей.

2.15. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами m₁ и m₂. Кабина начинает подниматься с ускорением a₀. Пренебрегая массами блока и нитей, найти ускорения груза m₁ относительно шахты лифта и относительно кабины.

2.16. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами m₁ и m₂. Кабина начинает подниматься с ускорением a₀. Пренебрегая массами блока и нитей, найти силу, с которой блок действует на потолок кабины.

2.17. Из одного неподвижного облака через время τ сек одна за другой начинают падать две дождевые капли. Как будет со временем меняться расстояние между ними? Решить задачу в двух случаях: а) полагая, что сопротивление воздуха отсутствует; б) полагая, что сопротивление воздуха пропорционально скорости капель.

2.18. Лодка массы m развила под парусом скорость v₀. а) Как будет убывать скорость лодки во времени по стоячей воде после спуска паруса, если считать, что сила сопротивления воды F_сопр. = kv²? б) Как долго будет двигаться лодка? в) Какой путь она пройдет до полной остановки?

2.19. Рассмотреть вопросы, поставленные в предыдущей задаче, в предположении, что F_сопр. = kv. Как в этом случае скорость лодки (после спуска паруса) зависит от пройденного лодкой пути?

2.20. Самолет делает "мертвую петлю" радиуса R = 500 м с постоянной скоростью v = 360 км/ч. Найти вес летчика массы m = 70 кг в нижней, верхней и средней точках петли.

2.21. Через вращающийся без трения блок перекинута нить. На одном ее конце привязан груз массой m₁. По другому концу нити с постоянным относительно нее ускорением a₂ скользит кольцо с массой m₂ . Найти ускорение a₁ массы m₁ и силу трения кольца о нить.

2.22. С каким минимальным ускорением следует перемещать в горизонтальном направлении брусок A, чтобы тела 1 и 2 не двигались относительно него? Массы тел одинаковы, коэффициент трения между бруском и обоими телами равен k.

2.23. В системе, изображенной на рисунке, известны массы кубика m и клина m₀, а также угол α. Трения нет. Найти ускорение клина m₀ .

Рисунок к задаче 2.22	Рисунок к задаче 2.23

2.24. На горизонтальной плоско­сти лежит клин 1 массы m₁, на грань клина кладут тело 2 массы m_{2 .} Все поверхности соприкасающихся тел гладкие. Найти горизонтальные ускорения обоих тел и силы N и R, с кото­рыми тело давит на клин и клин давит на плоскость.

2.25. Небольшому телу А, находящемуся на вершине гладкой сферы радиусом R, сообщили скорость v₀ в горизонтальном направлении (см. рисунок). Найдите условие, при котором тело будет некоторое время скользить по сфере. Определите угол φ, соответствующий точке отрыва, и скорость тела в этот момент.

Рисунок к задаче 2.24	Рисунок к задаче 2.25

2.26. Стальная проволока некоторого диаметра выдерживает груз до 4400 Н. С каким наибольшим ускорением можно поднимать груз в 3900 Н, подвешенный на этой проволоке, чтобы она при этом не разорвалась?

2.27. Снаряд разрывается в верхней точке траектории на две равные части. Одна часть падает вертикально вниз и приходит за t сек путь h . Найти скорость второй части. Выстрел произведен под углом α к горизонту со скоростью v₀.

2.28. Три лодки веса P идут в кильватер (друг за другом) с одинаковой скоростью v. Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю лодки бросают со скоростью v₁ относительно лодки грузы весом P₁. Каковы будут скорости лодок после переброски грузов?

2.29. Две лодки идут навстречу параллельным курсом. Когда лодки находятся друг против друга, с каждой лодки во встречную одновременно перебрасывается мешок весом в 50 кг, в результате чего первая лодка останавливается, а вторая идет со скоростью 8,5 м∙сек^-1 в прежнем направлении. Каковы были скорости лодок до обмена мешками, если вес лодок с грузом равен 500 кг и 1 т соответственно?

2.30. Гибкий шнур висит вертикально, касаясь нижним концом горизонтальной поверхности. Масса шнура m, длина l. Верхний конец шнура отпускают. Найти полный импульс, который шнур передает поверхности.

2.31. На рельсах стоит платформа весом P₁ = 10 Т. На платформе закреплено орудие весом P₂ = 5 Т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Вес снаряда P₃ = 100 кГ, его начальная скорость относительно орудия v₀ = 500 м/с. Определить скорость v_x платформы в первый момент после выстрела, если платформа стояла неподвижно.

2.32. По рельсам движется платформа, вес которой P₁ = 10 Т. На платформе закреплено орудие весом P₂ = 5 Т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Вес снаряда P₃ = 100 кГ, его начальная скорость относительно орудия v₀ = 500 м/с. Определить скорость v_x платформы в первый момент после выстрела, если платформа двигалась со скоростью v₁ = 18 км/ч, и выстрел был произведен в направлении ее движения.

2.33. По рельсам движется платформа, вес которой P₁ = 10 Т. На платформе закреплено орудие весом P₂ = 5 Т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Вес снаряда P₃ = 100 кГ; его начальная скорость относительно орудия v₀ = 500 м/с. Определить скорость v_x платформы в первый мо­мент после выстрела, если платформа двигалась со скоро­стью v₁ = 18 км/ч, и выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению ее движения.

2.34. Найти, какую мощность развивает двигатель автомобиля массой в 1 Т, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью 36 км/ч: 1) по горизонтальной дороге; 2) в гору с уклоном 5 м на 100 м пути. Коэффициент трения равен 0,07.

2.35. Найти, какую мощность развивает двигатель автомобиля массой в 1 Т, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью 36 км/ч: 1) по горизонтальной дороге; 2) под гору с уклоном 5 м на 100 м пути. Коэффициент трения равен 0,07.

2.36. Камень массой 2 кг упал с некоторой высоты. Падение продолжалось 1,43 сек. Найти кинетическую и потенциальную энергии камня в средней точке пути. Сопротивлением воздуха пренебречь.

2.37. Мяч, летящий со скоростью = 15 м/с, отбрасывается ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью = 20 м/с. Найти, чему равно изменение количества движения мяча, если известно, что изменение его кинетической энергии при этом равно ∆T = 8,75 Дж.

2.38. При вертикальном подъеме груза массой m = 2 кг на высоту h = 1 м постоянной силой F была совершена работа A = 78,4 Дж. С каким ускорением поднимали груз?

2.39. Самолет поднимается и на высоте h = 5 км достигает скорости v = 360 км/ч. Во сколько раз работа, со­вершаемая при подъеме против силы тяжести, больше ра­боты, идущей на увеличение скорости самолета?

2.40. Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола, и начинает скользить тогда, когда длина свешивающейся части составляет 25 % всей его длины. Чему равен коэффициент трения каната о стол?

2.41. К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар. Вагон тормозится, и его скорость равномерно изменяется за время ∆t = 3 сек от = 18 км/ч до = 6 км/ч. На какой угол α отклонится при этом нить маятника?

2.42. Трамвай, трогаясь с места, движется с постоянным ускорением a = 0,5 м/с². Через t = 12 сек после начала движения мотор трамвая выключается, и трамвай движется до остановки равнозамедленно. На всем пути движения трамвая коэффициент трения равен k = 0,01. Найти: 1) наибольшую скорость движения трамвая; 2) общую продолжительность движения.

2.43. Трамвай, трогаясь с места, движется с постоянным ускорением a = 0,5 м/с². Через t = 12 сек после начала движения мотор трамвая выключается и трамвай движется до остановки равнозамедленно. На всем пути движения трамвая коэффициент трения равен k = 0,01. Найти: 1) отрицательное ускорение трамвая; 2) общее расстояние, пройденное трамваем.

2.44. Струя воды сечением S = 6 см² ударяет о стенку под углом α = 60^o к нормали и упруго отскакивает от стенки без потери скорости. Найти силу, действующую на стенку, если известно, что скорость течения воды в струе v = 12 м/с.

2.45. Молекула массой m = 4,65·10^-26 кг, летящая со скоростью v = 600 м/с, ударяется о стенку сосуда под углом α = 60^o к нормали и под таким же углом упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найти импульс силы, полученный стенкой за время удара.

2.46. Какую силу нужно приложить к вагону, стоя­щему на рельсах, чтобы вагон стал двигаться равноускоренно и за t = 30 с прошел путь s = 11 м? Масса вагона M = 16 т. Во время движения на вагон действует сила трения, равная 0,05 веса вагона.

2.47. Шофер, едущий на автомобиле по горизонтальной по­верхности в тумане, внезапно заметил недалеко впереди себя стену, перпендикулярную к направлению движе­ния. Что лучше сделать, чтобы предотвратить аварию: затормозить или повернуть в сторону (при той же ско­рости)?

2.48. Муфточка А может свободно скользить вдоль гладкого стержня, изогнутого на рисунке в форме полукольца радиусом R. Систему привели во вращение с постоянной угловой скоростью о вокруг вертикальной оси ОО’. Найдите угол φ, соответствующий устойчивому положению муфточки.

Рисунок к задаче 2.48	Рисунок к задаче 2.49

2.49. На верхнем краю наклонной плоскости укреплен блок, через который перекинута нить. К одному ее концу привязан груз 1 массой , лежащий на наклонной плоскости. На другом конце висит груз 2 массой (см. рисунок). Наклонная плоскость образует с горизонтом угол α. Коэффициент трения скольжения тела 1 по наклонной плоскости равен μ. Массой блоков и нитей можно пренебречь. Считая, что в начальный момент оба тела неподвижны, определите отношение масс , при котором тело 2: а) начнет опускаться; б) начнет подниматься; в) остается в покое. С каким ускорением а движутся грузы и какова сила натяжения нити Т для случая а), для случая б)? Определите силу натяжения нити, если тело 2 неподвижно.