Методичка по физике / -8 КОЛЕБАНИЯ

4. КОЛЕБАНИЯ

	Это нужно понять и запомнить!
4.1. Основные законы и формулы

• Уравнение гармонических колебаний и его решение:

,

где x - колеблющаяся величина; - собственная частота

колебаний с амплитудой a и начальной фазой .

• Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания:

; ;

• Сила, под действием которой точка массы m совершает гармоническое колебание:

.

• Кинетическая энергия колеблющейся точки массы m:

.

• Потенциальная энергия:

.

• Полная энергия:

,

• Уравнение затухающих колебаний и его решение:

,

где h – коэффициент затухания; − частота затухающих колебаний.

• Уравнение вынужденных колебаний и его установившееся решение:

, x = acos(ωt - φ) ,

где , .

• Резонансная частота и резонансная амплитуда:

, .

• Амплитуда A результирующего колебания, получающегося при сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты:

,

где A₁ и A₂ – амплитуды складываемых колебаний; и – их начальные фазы.

• Начальная фаза результирующего колебания:

4.2. Примеры решения задач

4-1. Точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 4 см и периодом Т = 2 с. Напишите уравнение движения точки, если ее движение начинается из положения х₀ =2 см.

Решение: x = Acos(ω₀t + φ₀). t = 0: , , , .

Ответ: , (м).

4-2. Тело массой m = 10 г совершает гармонические колебания по закону x = 0,1cos(4πt+π/4), м. Определите максимальные значения: 1) возвращающей силы; 2) кинетической энергии.

Решение: A = 0,1 м, . , F = ma.

, .

Ответ:,

=7,89 мДж.

4-3. Определите полную энергию материальной точки массой m, колеблющейся по закону x = Acos(ωt + φ).

Решение: E = T + U,

; .

Ответ: .

4-4. Под действием вынуждающей силы F_x = F_mcosωt осциллятор совершает установившиеся колебания по закону x = acos(ωt - φ). Найти работу вынуждающей силы за период.

Решение: Элементарная механическая работа вычисляется как dA = Fdx. Применительно к данной задаче можно написать:

.

Ответ: A = πaωF_m.

4-5. На каком расстоянии х от центра масс С надо подвесить тонкий однородный стержень длины l, чтобы период его малых колебаний был наименьшим?

Решение: Из уравнения малых колебаний физического маятника подвешенного в точке О на расстоянии x от центра масс

следует, что .

Откуда . По теореме Штейнера . Для тонкого стержня . Подставляя все в формулу для периода колебаний, получаем: .

Период Т будет минимальным при условии dT/dx =0, что выполняется при .

4.3. Вопросы и задачи

4.1. Частица совершает гармоническое колебание вдоль оси x около положения равновесия x = 0. Частота колебаний ω = 4 рад/с. В некоторый момент времени координата частицы x₀ = 25 см и ее скорость = 100 см/с. Найти координату x и скорость частицы через t = 2,4 с после этого момента.

4.2. Найти круговую частоту и амплитуду гармонических колебаний частицы, если на расстояниях и от положения равновесия ее скорость равна соответственно и .

4.3. Точка совершает гармоническое колебание вдоль некоторой прямой с периодом T = 0,6 c и амплитудой a = 10 cм. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь a/2 из крайнего положения.

4.4. Точка совершает гармоническое колебание вдоль некоторой прямой с периодом T = 0,6 с и амплитудой a =10 cм. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь a/2 из положения равновесия.

4.5. В момент t = 0 точка начинает совершать колебания вдоль оси x по закону. Найти за первые 3/8 периода после начала движения среднее значение проекции ее вектора скорости ‹v_x›.

4.6. В момент t = 0 точка начинает совершать колебания вдоль оси x по закону . Найти за первые 3/8 периода после начала движения модуль среднего вектора скорости ‹v›.

4.7. В момент t = 0 точка начинает совершать колебания вдоль оси x по закону . Найти за первые 3/8 периода после начала движения среднее значение модуля скорости.

4.8. Частица движется вдоль оси по закону. Найти путь, который она пройдет за промежуток времени от t = 0 до t.

4.9. В момент t = 0 частица начинает двигаться вдоль оси x так, что проекция ее скорости меняется по закону см/с, где t в секундах. Найти путь, который пройдет эта частица за первые t = 2,8 c после начала движения.

4.10. Найти амплитуду a колебаний, которые возникают при сложении следующих колебаний одного направления: , .

4.11. Найти амплитуду a колебаний, которые возникают при сложении следующих колебаний одного направления: , , .

4.12. Точка движется в плоскости xy по закону x = asinωt, y= bcosωt, где a, b и ω − положительные постоянные. Найти уравнение траектории точки y(x) и направление ее движения по этой траектории.

4.13. Точка движется в плоскости xy по закону x = Asinωt, y = Bcosωt, где A, B и ω − положительные постоянные. Найти ускорение точки a в зависимости от ее радиус-вектора r относительно начала координат.

4.14. Найти уравнение траектории точки y(x), если она движется по закону x = asinωt, y = sin2ωt. Изобразить график этой траектории.

4.15. Найти уравнение траектории точки y(x), если она движется по закону x = asinωt, y = cos2ωt. Изобразить график этой траектории.

4.16. Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты x как U(x)= U₀(1 - cosax), U₀ и a − некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

4.17. Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты x как U(x) = a/x² - b/x, где a и b − некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

4.18. Определить период малых колебаний математического маятника − шарика, подвешенного на нити длины l = 20 см,− если он находится в жидкости, плотность которой в η = 3 раза меньше плотности шарика. Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.

4.19. К нерастянутой пружине, верхний конец которой закреплен, подвесили и без толчка отпустили тело массы m. Жесткость пружины k. Пренебрегая ее массой, найти закон движения тела y(t), где y − его смещение из начального положения.

4.20. К нерастянутой пружине, верхний конец которой закреплен, подвесили и без толчка отпустили тело массы m. Жесткость пружины k. Пренебрегая ее массой, найти максимальное и минимальное натяжения пружины в процессе движения.

4.21. Частица массы m движется под действием силы F = - αr, где α − положительная постоянная, r − радиус-вектор частицы относительно начала координат. Найти траекторию ее движения, если в начальный момент времени r = r₀ i и скорость v = v₀ j, где i и j − орты осей x и y.

4.22. Физический маятник установили так, что его центр тяжести оказался над точкой подвеса. Из этого положения маятник начал двигаться к положению устойчивого равновесия, которое он прошел с угловой скоростью Ω. Пренебрегая трением, найти период малых колебаний этого маятника.

64