2.4.Исключение грубых погрешностей

Чем меньше число наблюдений, тем больше влияние каждого наблюдения на результат усреднения, то есть тем больше оценка зависит от разброса каждого наблюдения. Поэтому наличие грубой погрешности, по определению сильно отличающейся от остальных наблюдений, особенно в малой серии, может сильно исказить оценку определяемого параметра, получаемую, как было показано, на основе усреднения результатов наблюдений.

Грубой называют погрешность наблюдения, существенно превышающую ожидаемую при данных условиях. На её появление повлиял какой-то фактор, несвойственный условиям измерения. Это обстоятельство даёт основание исключить результат, содержащий такую погрешность. Но для исключения нужно установить критерий, то есть четко определить, что считать грубой погрешностью, а что нет. Ведь большое отличие от других значений может быть следствием естественного (законного для данного распределения) разброса. Действительно, если считать, что результаты наблюдений распределены по нормальному закону, они могут с определенной вероятностью значительно отличаться от среднего. Более того, чем больше наблюдений, тем большее отклонение законно, т.е. согласуется с законом распределения. Покажем это.

Пусть результат наблюдения попадает в доверительный интервал с вероятностью α₁. Вероятность не попасть в этот интервал равнаβ₁=1-α₁ Приnнаблюдениях вероятность попадания всехnрезультатов в тот же доверительный интервал равна:

, (как вероятность свершенияn независимых событий).

Тогда вероятность непопадания в этот же интервал при n наблюдениях:

, (2.23)

так как при<<1 можно пренебречь степенями выше первой.

Получается, что при малых вероятность попадания в интервал возрастает вnраз. Таким образом, вероятность больших статистических отклонений (т.е. согласующихся с распределением) растет с ростом числа наблюдений. Другими словами, чем большеn, тем с большее по абсолютному значению отклонение нельзя считать грубой погрешностью.

Когда определенно известно, что большое отклонение одного из результатов наблюдений возникло при воздействии факторов, не свойственных условиям получения остальных результатов (например, скачек напряжения в сети питания прибора) этот результат нужно исключить. Если это невозможно, то нужно переходить к методам статистической оценки.

Рассмотрим выявление грубой погрешности в предположении, что результаты наблюдений распределены по нормальному закону. Методы статистической оценки регламентирует ГОСТ 11.002-73 «Правила оценки анормальности результатов наблюдений».

Решение вопроса об анормальности сводится к тому, что по результатам наблюдения рассчитывается определенная функция случайной величины, для которой известно распределение вероятностей. Вычисленное по выборочным данным значение этой функции сравнивается с её предельным значением, соответствующим заранее принятой малой вероятности, называемым уровнем значимости. Если при этом выясняется, что вероятность подозреваемого в анормальности результата наблюдения меньше принятой, то выносится решение, что оцениваемый результат анормален и должен быть исключен; в противном случае его считают нормальным и не исключают.

Для проверки анормальности результаты наблюдений упорядочивают, т.е. записывают в виде:

,

т.е. подозрительными могут быть крайние (1-ый и n-ый члены последовательности). Подсчитываются среднее и среде квадратическое отклонения:

Чтобы оценить принадлежность крайних значений a_nиa₁к данной нормальной совокупности и принять решение об исключении или оставленииa_n(a₁) в составе выборки, находят отношение:

(2.24)

Результаты сравнивают с величиной β, взятой из таблиц для данного числа наблюдений nи принятого уровня значимости α. Если, то подозреваемый результат наблюдения анормален и должен быть исключен, в противном случае его считают нормальным и не исключают. (Л.2)