Правило декодирования

1. При условии равных метрик из двух путей выбирается путь с наименьшей накопленной метрикой на предыдущем уровне.

2. Если происходит слияние путей на некотором участке диаграммы, приемник делает однозначный вывод о переданной информационной последовательности на этом участке.

В рассмотренном примере после обработки 5-го уровня решетчатой диаграммы, произошло слияние путей на уровнях 0-3. Приемник делает вывод, что кодер передавал последовательность

00 11 01,

а это соответствует информационной последовательности 0 1 0.

2. Обычно в приемнике устанавливается фиксированная глубина декодирования. Например, 10-й уровень. Если слияние путей не происходит, тогда после обработки 10-гоуровня, приемник выбирает путь с минимальной метрикой и формирует один информационный символ для выдачи получателю, соответствующий первому уровню этого пути. После обработки 11-го уровня делается вывод о следующем информационном символе, который соответствует второму уровню пути с минимальной метрикой и т.д.

Пример выполнения задачи 4

Система передачи данных использует циклический код с параметрами (7,4) и образующим полиномом g(x)=x³+x+1. На вход кодера канала поступает информационная последовательность u=1001.

1. Запишите образующую матрицу G заданного кода в каноническом виде. Определите кодовое расстояние кода d₀ (d_min).

2. Определите кодовую комбинацию v на выходе кодера.

3. Внесите многократную ошибку (t=4) в любые разряды комбинации v. Вы получили искаженную комбинацию y на входе декодера канала в приемной части.

4. Определите синдром s комбинации y.

5. Ответьте на вопросы:

   1. Декодер обнаружил ошибки? (Да, нет, почему??)

   2. Декодер способен исправить обнаруженные ошибки?

РЕШЕНИЕ

1. Запишем образующую матрицу заданного кода G, используя заданный образующий полином g(x).

│0001011│

│0010110│

G=│0101100│

│1011000│

Преобразуем полученную матрицу к каноническому виду. Для этого первая строка матрицы G переходит на место четвертой, вторая строка – на место третьей, вторая строка Gкан получается как сумма по модулю 2 первой и третьей строк G, первая строка Gкан получается как сумма по модулю 2 четвертой, второй и первой строк G.

│1000101│

│0100101│

Gкан=│0010110│

│0001011│

Минимальный вес кодового слова в образующей матрице Gкан t=3. Следовательно, кодовое расстояние заданного кода d₀=3.

2. Задана информационная последовательность U=1001. Кодовая комбинация v на выходе кодера может быть найдена как произведение V=U×G_кан или можно вычислить проверочные разряды кодовой комбинации через образующий полином g(x). Воспользуемся вторым способом.

R(x)=[U(x)×x³]mod g(x)=[(x³+1)×x³]mod(x³+x+1)=x²+x110

V=1001 110

Полученная комбинация делится на заданный образующий полином без остатка, и, следовательно, является разрешенной комбинацией заданного кода.

3. По заданию при передаче по дискретному каналу возникла комбинация ошибок весом t=4. Пусть вектор ошибки имеет вид (выбираем произвольно) e=0111100. Тогда на входе декодера приемника появляется комбинация Y=Ve=1110010, как результат поразрядного сложения комбинаций по модулю 2.

4. Декодер циклического кода вычисляет синдром принятой последовательности S(x)=Y(x)mod g(x). Разделим принятую последовательность Y на образующий полином и найдем остаток от деления. S=110≠0.

5. Синдром не равен нулю, следовательно, декодер установил наличие ошибок в принятой комбинации. Если предположить, что ошибки в дискретном канале возникают независимо друг от друга, то одиночные ошибки возникают с наибольшей вероятностью. Заданный код способен гарантированно исправить любую одиночную ошибку, так как имеет кодовое расстояние d₀=3. В данном случае декодер, работающий в режиме исправления одиночных ошибок, выполнит ошибочное декодирование, исправив в принятой последовательности третий бит слева (S=110 соответствует комбинации ошибок e=0010000). Выбранная комбинация ошибок не будет исправлена.