4.7. Касательные напряжения в турбулентном потоке
Касательные напряжения, возникающие в турбулентном потоке, по своей физической природе существенно отличаются от касательных напряжений в ламинарном потоке. В результате интенсивного перемешивания частиц происходит массообмен частицами в поперечном направлении между отдельными слоями, что приводит к обмену количеством движения.
Определим касательные
напряжения, возникающие в турбулентном
потоке вдоль оси х,
в котором
имеются пульсации скоростей, приняв
струйчатую модель движения (рис. 4.9).
Выделим в потоке жидкости два слоя:
первый слой - движения со скоростью
,
второй - с
большей скоростью на величину
,
т.е.
.
Рис. 4.9. К определению касательных турбулентных напряжений
За счет поперечной
пульсационной скорости
происходит
обмен массами между слоями через
некоторую площадь
.
За времяdt
через площадь
от слоя 1 к слою2
пройдет
следующая малая масса жидкости:
. (4.73)
Эта масса жидкости
за счет продольной пульсации
передаст слою
2 следующее
количество движения:
. (4.74)
В результате передачи количества движения в слое 2 возникает импульс силы
, (4.75)
где 
- воображаемая
сила трения, вектор которой параллелен
направлению движения слоев.
Используя теорему количества движения (изменение количества движения равно импульсу движущих сил), получим
(4.76)
или
(4.77)
где
- касательные напряжения в турбулентном
потоке.
Уравнение выражает мгновенное значение касательных напряжений, обусловленных пульсацией скорости при турбулентном движении.
Осредненные касательные напряжения турбулентного трения представляются в виде
, (4.78)
где 
,
- осредненные
пульсационные составляющие.
В турбулентном
потоке имеют место вязкостные напряжения,
связанные с силами внутреннего трения
в результате сцепления частиц в потоке,
а также со стенками русла. Полные
касательные напряжения в результате
турбулентного перемешивания
и вязкостного трения
(4.79)
или
, (4.80)
где
- динамическая вязкость.
Согласно теории
Прандтля пульсационные скорости 
и 
достаточно
близки (
),
а пульсационная осредненная составляющая
,
где l - значение перемещения частиц или длина пути смешивания.
Тогда, подставив (4.81) в (4.78), получим формулу турбулентных касательных напряжений:
. (4.82)
Согласно гипотезе
Прандтля величина
принимается пропорциональной расстоянию
в рассматриваемой точкеz
от стенки русла
потока, т.е.
, (4.83)
где a - некоторое постоянное число.
По Прандтлю следует,
что по мере удаления от стенки значение
перемещений частиц жидкости
в поперечном направлении увеличивается.
Числоа
обычно называют
универсальной постоянной Прандтля.
В результате исследований турбулентного потока в трубах, связанных с распределением скоростей, Никурадзе получил a=0,4.
По предложению Буссинеска турбулентные касательные напряжения по аналогии с законом Ньютона можно представить в виде
, (4.84)
где А - коэффициент турбулентного перемешивания, связанный с переносом количества движения в результате интенсивности турбулентного перемешивания.
Учитывая равенства
для 
(4.82) и (4.84),
, (4.85)
получим
. (4.86)
По аналогии с
законом трения Ньютона обозначим
,
где
- динамическая виртуальная (турбулентная)
вязкость.
Выражение (4.82) может быть представлено в следующем виде:
.
При сильно турбулизированном потоке вязкостные напряжения пренебрежительно малы, и тогда касательные напряжения
.