Б. Расчетная модель турбулентного потока. Распределение осредненных скоростей в потоке при турбулентном движении жидкости

§ 4-6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ИЗУЧЕНИЕМ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА

1°. Мгновенная местная скорость (актуальная скорость). Структуру турбулентного потока можно себе представить, например, в следующем виде.

При больших скоростях некоторые объемы жидкости (а, b, с; рис. 4-8) разной величины и формы приходят внутри жидкости в беспорядочное неустановившееся вращение (получаются водовороты). Множество этих водоворотов, возникающих внутри жидкости и распадающихся на более мелкие изменяется по течению. Имея поступательное движение, они проносятся через данное поперечное сечение потока I - I. Если на этом сечении потока зафиксировать неподвижную точку А, принадлежащую пространству, то через эту точку будут проходить частицы жидкости, имеющие поступательное и вращательное

Рис. 4-8. Схема турбулентного движения

движения (относительно перемещающихся центров О); скорость в точке А поэтому все время должна изменяться (и по величине и по направлению)¹

Рис. 4-9. Продольная актуальная скорость [(u_a)_x] и поперечная актуальная скорость [(u_a)_z]

Рис. 4-10. Схема графика пульсаций продольной актуальной скорости для неподвижной точки пространства А (рис. 4-8) u – осредненная продольная скорость

В результате, если в толще потока наметить несколько частиц жидкости (М₁ М₂, ...), попадающих в точку А в разные моменты времени t, то получим следующую картину:

а) частица М₁, двигаясь по некоторой причудливой траектории, попадает в точку А в момент времени t₁ и приобретает в этой точке скорость, которую обозначим через (u_а)'_А;

б) частица М2, двигаясь по другой траектории, попадает в точку А в момент времени t₂ и приобретает в этой точке скорость (u_а)"_А, отличную от скорости (u_а)'_А, и т. д.

В другой точке поперечного сечения I - I, например, в точке В, будем иметь аналогичную картину; для различных моментов времени (t₁ t₂, …) будем получать в этой точке различные скорости: (u_а)'_В; (u_а)''_В; (u_а)'''_В и т.д.

Действительную скорость u_а движения жидкой частицы в данный момент времени в данной точке пространства (например, в точке А или В) называют мгновенной местной скоростью или актуальной скоростью¹

Рис. 4-11. Продольное и поперечное направления турбулентного потока: а — схема графика пульсаций поперечной актуальной скорости для неподвижной точки А пространства; б — поперечный обмен объемами жидкости dV (через площадку dω)

Как видно, актуальная скорость в данной точке пространства изменяется во времени (в общем случае и по величине и по направлению).

2°. Пульсация мгновенной местной (актуальной) скорости. Представим на I рис. 4-9 схему плоского поперечного сечения I - I потока и отметим на нем точку А и элементарную площадку dω, выделенную у этой точки. Проведем к площадке dω нормаль Ах и ортогональ к этой нормали Az; изобразим вектор скорости и_а. Далее спроектируем и_a на направления Ах и Az, причем получим составляющие (и_а)_х и (u_a)_z.²

Продольная составляющая актуальной скорости (и_а)_х будет характеризо­ваться следующим:

а) она всегда будет иметь постоянное направление (в отличие от скорости и_а);

б) величина ее будет изменяться во времени (соответственно тому, как изменяется во времени величина скорости и_а).

Составляющие (и_а)_х и (и_а)_z будем именовать соответственно: мгновенной продольной составляющей скорости (или просто продольной скоростью) и мгновенной поперечной составляющей скорости (или просто поперечной скоростью).

Изменение (и_а)_х во времени в данной точке пространства может быть представлено графиком на рис. 4-10. Этот график, относящийся к определенной точке пространства (например, к точке А), называется графиком пульсации продольной скорости.

Аналогично можно построить график пульсации поперечной скорости (u_a)_z (рис. 4-11, а).

Пульсацией скорости называется явление изменения (увеличение и уменьшение) во времени (т. е. явление флюктуации) величины проекции местной мгновенной (актуальной) скорости на какое-либо направление (например, на линию Ах или на линию Az). С явлением пульсации скоростей иногда сталкиваемся в обыденной жизни; например, наблюдая водоросли, растущие в текущей воде реки, можно заметить, что эти водоросли совершают сложные колебательные движения, которые являются результатом пульсации скоростей; наблюдая уровень воды в трубке Пито, можно видеть, что этот уровень колеблется: то поднимается, то опускается, что также объясняется пульсацией скорости.

3°. Осредненная местная скорость. Пульсационная скорость (пульсационная добавка). Выделим на графике пульсации продольной составляющей скорости (рис. 4-10), относящемся к определенной точке пространства А, доста­точно большой отрезок времени t₁ и затем в пределах этого отрезка осредним величины (и_а)_х: проведем прямую АВ с таким расчетом, чтобы площадь прямоугольника ABCD (Ω_ABCD) равнялась площади фигуры A'B'CD (Ω_A'B'CD) ограниченной кривой графика пульсации:

Ω_ABCD = Ω_A'B'CD

При этом получим некоторое среднее значение u₁, продольной скорости в данной точке А (как здесь, так и ниже, индексы х у осредненных продольных составляющих опускаем).

Выделим далее второй достаточно большой отрезок времени t₂; проведя осреднения продольных мгновенных скоростей в пределах этого отрезка времени, получим некоторое среднее значение продольной скорости в той же, точке А и т. д.

Турбулентное движение жидкости является движением неустановившимся, так как здесь в данной точке пространства актуальные скорости u_a все время изменяются. Вместе с тем, если для данной точки А живого сечения (а также и для других точек этого живого сечения) величины ,,, …, найденные, как это описано выше, удовлетворяют условиях (рис. 4-10)

(4-47)

то такое турбулентное движение может быть названо в среднем установившимся движением; такого рода движение часто называют просто установившимся, опуская слово «в среднем» (но подразумевая его). Как ясно из сказанного, на рис. 4-10 представлен случай установившегося турбулентного движения. Для неустановившегося турбулентного движения будем иметь Условная (фиктивная) скоростьназываетсяосредненной местной скоростью; эта скорость является, разумеется, продольной.

Если через dV обозначить объем жидкости, проходящей через элементарную площадку dω (рис. 4-9) за достаточно большой отрезок времени t, то величину осредненной местной скорости при установившемся (в среднем) движении можно представить соотношением

(4-48)

Рассматривая рис. 4-10, видим, что продольная актуальная скорость ()_х может быть представлена в виде:

, (4-49)

где величина (положительная или отрицательная) может быть названапродольной пульсационной скоростью или пульсационной добавкой.

Легко видеть, что для достаточно большого промежутка времени t

(4-50)

поскольку левая часть этого равенства выражается суммой площадей (положительных и отрицательных), показанных на рис. 4-10 штриховкой.

Рассматривая пульсацию поперечных (по отношению к общему направ­лению течения) составляющих актуальной скорости, т. е. пульсацию величин (u_а)_z (рис. 4-11), должны иметь в виду элементарную площадку dω, ортого­нальную оси Oz (рис. 4-11,б). Через эту площадку в связи с наличием скоростей (u_а)_z (изменяющихся во времени как по величине, так и по направлению) будет двигаться жидкость. Обозначим: через dV↑ — объем этой жидкости, прошедшей через площадку dω вверх в продолжении длительного промежутка времени t; через dV↓ — объем жидкости, прошедшей через площадку dω вниз в течение того же отрезка времени t.

Для установившегося (в среднем) турбулентного движения (при достаточно большом t) будем иметь равенство (см. конец настоящего пункта):

(4-51′)

отсюда можем заключить, что объем жидкости dV, прошедший через площадку dω за время t, должен быть равен нулю:

(4-51′′)

а следовательно, осредненная поперечная местная скорость

(4-52′)

Имея это в виду, можем написать [сообразуясь с аналогичной зависимостью (4-49), в которой мы понимаем под величину], что

(4-52′′)

где и'_z можно назвать поперечной пульсационной скоростью. Как видно, поперечная составляющая актуальной скорости является поперечной пульсационной скоростью. Ясно, что для достаточно большого отрезка времени

и следовательно, сумма положительных площадей графика пульсации (рис. 4-11, а) равна сумме отрицательных площадей данного графика.

Необходимо в заключение подчеркнуть, что все сказанное выше основан на том предположении, что продольное («главное») и поперечное направления движения жидкости (т. е. направления осей Ах и Az; см. рис. 4-9) были выбраны в начале наших рассуждений с таким расчетом, чтобы соотношение (4-51") было удовлетворено.

4°. Пульсация давлений. Осредненный поток (модель Рейнольдса — Буссинеска). Как показывает опыт, пульсация скоростей сопровождается пульсацией давлений р, т.е. изменением во времени величин р в точках пространства. Рассматривая в среднем установившееся турбулентное движение, можем считать, что для заданной точки пространства (например, точки А на рис. 4-8)

(4-53)

где — гидродинамические давления, осредненные в точке А за достаточно большие отрезки времени (следующие один за другим)t₁ t₂, t₃, ..; величина может быть названа осредненным местным гидродинамическим давлением.

Для расчета турбулентного потока О. Рейнольде (в 1895 г.) и Ж. Буссинеск (1897 г.) предложили заменять этот поток некоторой воображаемой моделью, представляющей собой условный (фиктивный) поток жидкости, частицы которой движутся со скоростями, равными осредненным местным (продольным) скоростям (), гидродинамические же давления в различных точках пространства, занятого этим потоком, равны осредненным местным давлениям.Такой воображаемый поток будем называть осредненным потоком или мо-делью Рейнольдса — Буссинеска. Как видно, поперечные актуальные скорости (u_a)_z при переходе к такой модели исключаются из рассмотрения, т. е. исключается из рассмотрения так называемое «турбулентное перемешивание» (поперечный обмен частицами жидкости между отдельными продольными ее слоями).

Если при движении, называемом нами установившимся, величины в от­дельных точках пространства не изменяются во времени, то при движении, которое мы будем именовать неустановившимся, величины должны при рас­смотрении модели Рейнольдса —Буссинеска изменяться во времени.

Как видно, рассчитывая турбулентный поток согласно Рейнольдсу — Буссинеску, мы должны оперировать величинами и .Поэтому, прилагая, например, уравнение Бернулли к определенному турбулентному потоку, в этом уравнении под величинами и и р всегда следует подразумевать величины и ;только для упрощения записи в этом случае над буквами и и р не ставят горизонтальных черточек, указывающих на осреднение величин и и р во времени, однако эти черточки всегда подразумевают. Что касается интенсивности пуль­сации скоростей (и_а)_х, то при указанном подходе к вопросу это обстоятельство может быть учтено в уравнении Бернулли величиной корректива α_с (см. ниже п. 6^°).

Действительные линии тока в случае турбулентного потока должны пред­ставлять собой весьма неопределенные кривые, всегда меняющиеся во времени. При рассмотрении же осредненного потока (модели Рейнольдса—Буссинеска) получаем среднестатистические линии (или поверхности) тока (построенные на основе скоростей и) и среднестатистические элементарные струйки, которые не изменяются во времени, если мы имеем установившееся движение (в среднем). Для такого движения указанные среднестатистические поверхности тока должны быть образованы площадками, характеризующимися условием (4-51′).

Надо отметить, что живые сечения осредненного потока, также как и живые сечения действительного ламинарного потока, не являются поверхностями равного напора Н_е. Осредненный поток дает нам вихревое (не потенциальное) движение.

Следует подчеркнуть, что исключаемое из рассмотрения турбулентное перемешивание (при переходе к осредненному потоку) существенно влияет на величину потерь напора; это обстоятельство приходится дополнительно учи­тывать так, как то поясняется в § 4-7.

В некоторых случаях практики при турбулентном движении жидкости в нее можно ввести (в весьма малом количестве) особые полимерные добавки, которые, двигаясь вместе с жидкостью, приглушают турбулентное перемешивание, причем, как показывает опыт, потери напора резко снижаются. Подчеркнем, что, как видно из всего сказанного выше, модель Рейнольдса — Буссинеска (модель осредненного потока), которой для расчета мы заменяем действительный турбулентный поток, представляет собой некоторый особый воображаемый ламинарный поток.

5. Средняя скорость при турбулентном движении жидкости. Не следует смешивать термины «средняя скорость» v и «осредненная скорость» u.¹ В первом случае мы проводили осреднение по живому сечению (для данного момента времени), во втором случае — по времени (в данной точке пространства).

Рис. 4-12. Сопоставление потоков, характеризуемых различной интенсивностью пульсации скоростей

В случае ламинарного движения скорость v есть средняя из действительных скоростей и. В случае же турбулентного движения скорость v есть средняя не из действительных скоростей, а уже из осредненных скоростей; чтобы получить скорость v, в этом случае следует дважды прибегать к осреднению; сперва осредняем продольные скорости по времени в отдельных точках поперечного сечения, а затем полученные и осредняем по поперечному сечению потока.

6^°. Кинетическая энергия турбулентного потока. Изобразим на рис. 4-12 два одинаковых призматических русла; будем считать, что потоки на рис. 4-12 характеризуются одинаковыми расходами Q и одинаковыми глубинами h, а следовательно, одинаковыми средними скоростями v.

Рассмотрим два живых сечения: I - I (рис. 4-12,а) и II - II (рис. 4-12,6). Предположим, что в некоторых двух сходственных точках А и В указанных живых сечений осредненные продольные скорости и_А и и_в оказались равными: u_А = и_в. При таком положении в намеченных сходственных точках (А и В) пульсация скоростей (и_а)_х может быть, вообще говоря, различной; например, в точке А размах пульсации может быть большим (рис. 4-13,а)¹,а в точке В — малым (рис. 4-13,б).

Сопоставляя между собой потоки на рис. 4-12, а и б, легко видеть, что оба эти потока, имея одинаковую среднюю скорость v, в общем случае могут характеризоваться различной структурой. При этом поток с повышенной турбулентностью (рис. 4-13, а) всегда будет обладать большей кинетической энергией.

Можно считать, что кинетическая энергия турбулентного потока слагается из двух величин:

а) кинетической энергии, подсчитанной исходя из осредненных скоростей и;

б) кинетической энергии, подсчитанной исходя из пульсационных скоростей u′.

Если в случае ламинарного режима удельная кинетическая энергия выражается величиной , где α — корректив, учитывающий только неравномерность распределения скоростей по живому сечению (корректив кинетической энергии), то в случае турбулентного режима удельная кинетическая энергия выражается величиной , где

(4-54)

причем здесь α_п — дополнительный корректив, учитывающий пульсацию продольных скоростей (и_а)_х в отдельных точках поперечного сечения потока.

Рис. 4-13. Графики пульсации продольной актуальной скорости для потоков на рис. 4-12

Величину α_п приходится, однако, учитывать только при наличии интенсивной турбулентности, которая может иметь место при неравномерном движении; для турбулентного равномерного движения величиной α_п можно пренебрегать.

Заметим в заключение, что в связи с различной степенью пульсации ско­ростей для потоков на рис. 4-12, а и б, распределение осредненных скоростей и по живым сечениям для этих потоков должно получиться разным (формы эпюры скоростей на рис. 4-12,а и б должны быть различными; см. § 4-7 и 4-8).

§ 4-7. ТУРБУЛЕНТНЫЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОСРЕДНЕННОМ ПОТОКЕ

В действительном турбулентном потоке имеются обычные касательные напряжения τ, называемые актуальными. Поле таких напряжений, в связи с турбулентностью, должно изменяться во времени. Если бы для данного момента времени нам было известно такое поле, то мы могли бы для этого момента времени, используя обобщенный закон Ньютона (см. сноску на с. 136), вычислить с некоторым приближением и поле актуальных касательных напряжений.

«Турбулентные касательные напряжения» τ_т не следует смешивать с актуальными напряжениями т действительного турбулентного потока. Напряжения τ_т не существуют в действительном потоке; они являются воображаемыми; их мысленно вводят в осредненный поток (в модель Рейнольдса — Буссинеска), чтобы в определенном отношении (см. ниже) приблизить модель осредненного потока к действительности.

Поясним этот вопрос подробнее.

Переходя от действительного турбулентного потока к осредненному потоку (к модели), мы отбрасываем поперечные пульсационные скорости u'_z = u_z. В модели осредненного потока остаются только продольные составляющие скоростей, т. е. величины их (которые условно обозначают буквой u)

Вместе с тем, отброшенные скорости u_z влияют на формирование эпюры продольных скоростей и, а следовательно, влияют и на величину потерь напора.

Имея это в виду, чтобы компенсировать влияние (на эпюру продольных скоростей) отбрасываемых скоростей u_z, и было предложено ввести в модель осредненного потока воображаемые (несуществующие) продольные касательные напряжения τ_т. При этом величину τ_т. стремятся подобрать так, чтобы количественное влияние τ_т. на эпюру скоростей и соответствовало количественному влиянию на эту же эпюру отброшенных поперечных скоростей u_z,.

Рис. 4-14. К вопросу о турбулентных касательных напряжениях: а — «действительный» поток; имеет место поперечный обмен частицами жидкости (исключенный при переходе к осредненному потоку); б — модель осредненного потока; введены воображаемые касательные напряжения τ_т (компенсирующие исключенные скорости и_z)

На рис. 4-14, а представлена схема действительного потока, который характеризуется наличием поперечного обмена частицами жидкости: см. на рисунке «черные» частицы, которые имеют относительно большие продольные скорости и₁ причем эти частицы со скоростью u_z↓ переходят в нижний (2-й) слой жидкости и ускоряют его движение; см. также на этом рисунке «белые» частицы, которые имеют относительно малые продольные скорости u_z, причем они со скоростью и_z↑ переходят из 2-го слоя в 1-й слой жидкости и замедляют движение этого слоя. На схеме а показаны две эпюры скоростей: эпюра № 1 —действительная эпюра продольных скоростей и и эпюра № 2 — искаженная эпюра, получающаяся в том случае, если исключим из рассмотрения скорости u_z¹.

На рис. 4-14,6 показана схема модели Рейнольдса — Буссинеска, которая характеризуется отсутствием турбулентного обмена (u_z = 0); для такой схемы мы должны получить упомянутую выше искаженную эпюру скоростей № 2; однако, вводя в эту схему вместо скоростей u_z воображаемые касательные напряжения τ_т (соответствующей величины), мы можем исправить искаженную эпюру № 2 и получить вместо нее «истинную» эпюру № 1.²Как видно, в действительном потоке (схема а) действуют только «ньютоновские касательные напряжения» τ. (§ 4-3); в модели Рейнольдса — Буссинеска (схема б) вдоль поверхности 1 — 1 действуют касательные напряжения равные (τ + τ_т).

Чтобы определить необходимую величину τ_т, используют как бы постулат, который условно можно представить такой записью:¹

где в левой части уравнения приводится приращение количества движения (КД) некоторого элементарного объема жидкости на соответствующем его перемещении, обусловленное турбулентным обменом; как видно, эта часть уравнения относится к действительному потоку (рис. 4-14,а); в правой части уравнения приводится импульс воображаемых сил трения (на соответствующем перемещении); эта часть уравнения относится к воображаемому потоку (рис. 4-14,6).

Из сказанного, между прочим, вытекает, что приведенная выше зависимость не может быть названа уравнением количества движения (импульса сил), поскольку левая и правая части этого уравнения относятся к различным объектам: левая к действительному потоку, а правая — к воображаемому потоку.

Решая особым (весьма приближенным) способом уравнение, отражаемое приведенной выше условной записью, Буссинеск получил формулу для τ_т, по своей структуре совпадающую с зависимостью (4-24):²

(4-55)

где - градиент скорости; он имеет тот же смысл, что и в зависимости (4-24); здесь только подu надо понимать осредненную продольную скорость;¹- коэффициент пропорциональности, называемыйдинамическим коэффициентом турбулентной вязкости или турбулентного обмена.²

Согласно Л. Прандтлю коэффициент выражается зависимостью (полученной в предположении отсутствия молекулярной вязкости):

(4-56)

где величину l принято называть длиной пути смешения или перемешивания; разные авторы приписывают величине l различный физический смысл; данную величину выражают в виде

(4-57)

где z — расстояние от стенки русла до точки, в которой определяется турбу-лентное касательное напряжение; χ — «универсальная постоянная Прандтля»; согласно опытам Никурадзе для круглой трубы χ«0,4.

Как видно из (4-56), величина динамического коэффициента пропор-циональна градиенту скорости, причем коэффициентв отличие от коэф-фициента(коэффициента молекулярной вязкости)зависит от характера движения жидкости.

Аналогично (3-128) можем написать [учитывая также зависимость (4-56)]:

, (4-58)

где называетсякинематическим коэффициентом турбулентной вязкости или турбулентного обмена.

В общем случае осредненный поток должен одновременно обладать и молекулярной и турбулентной вязкостями. Поэтому полное суммарное касательное напряжение τ. записывают иногда (с некоторым приближением) в виде

, (4-59)

В случае ламинарного движения второй член правой части (4-59) отпадает; при этом напряжение трения на стенке получается пропорциональным первой степени средней скорости. В случае турбулентного движения при достаточно больших числах Рейнольдса второй член правой части (4-59) значительно превышает первый; при этом с молекулярной вязкостью можно вовсе не считаться; в результате τ оказывается прямо пропорциональным второй степени средней скорости (см. ниже § 4-9).

В случае турбулентного движения в условиях не слишком больших чисел Рейнольдса оба слагаемых правой части (4-59) могут получиться соизмеримыми, причем оказывается пропорциональным средней скорости в степени, не равной двум.

Для осредненного турбулентного потока, когда действует зависимость (4-59), эпюра турбулентных касательных напряжений для круглой трубы может быть схематично представлена площадьюОса (см. рис. 4-4); на этом рисунке через обозначены касательные напряжения, обусловленные молекулярной вязкостью.

Необходимо учитывать, что при желании описать то или другое достаточно сложное физическое явление (например, явление турбулентного движения жидкости) приближенной математической зависимостью, устанавливающей связь между различными характеристиками (параметрами) данного явления, часто поступают следующим образом. Сперва создают в своем воображении так называемую неполную модель данного явления (неполную в том смысле, что эта модель не полностью отражает рассматриваемое явление, несколько схематизируя, упрощая его). После этого подвергают анализу с использованием аппарата механики и математики не действительность (которая сложна и поэтому недоступна указанному анализу), а принятую неполную воображаемую модель. Именно, исходя из такой модели, и получают соответствующие расчетные зависимости и формулы. Само собой разумеется, что эти зависимости могут считаться приемлемыми только после экспериментальной их проверки (и часто после введения в них соответствующих поправочных коэффициентов, учитывающих отличие принятой модели от действительности). Различные авторы при исследовании определенного явления могут принимать различные модели и получать при этом разные результаты. Само собой разумеется, что удачной моделью будет та, которая приведет нас к результатам, достаточно хорошо согласующимся с опытными данными. Иногда мы можем столкнуться с таким случаем, когда модель, по своему виду больше отличающаяся от действительности, дает лучшие количественные результаты, чем модель, отличающаяся от действительности в меньшей мере и т. п.

Именно с учетом высказанных соображений и следует рассматривать решения, упоминавшиеся выше, а также решения, о которых мы будем говорить в последующем изложении.

Из вывода, приведенного в § 2-2, можно видеть, что, прилагая к граням рассматриваемой в этом параграфе призмы касательные напряжения, мы при этом должны изменить величину нормальных напряжений с тем, чтобы элементарная призма осталась в равновесии (в данном случае в «динамическом равновесии»). Поэтому можно утверждать, что осредненный поток (модель Рейнольдса — Буссинеска) должен характеризоваться наличием не только дополнительных турбулентных касательных напряжений, но и наличием еще дополнительных турбулентных нормальных напряжений.

В заключение отметим, что рассматривая осредненный поток вязкой (реальной) жидкости и прилагая к нему уравнение Навье — Стокса (см. § 3-3), Рейнольдс получил три особых уравнения равновесия жидкости, учитывающих осреднение потока во времени. Эти уравнения, «содержащие некоторые дополнительные члены, называются уравнениями Рейнольдса (их мы не приводим).

§ 4-8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ СКОРОСТЕЙ