А. Потеря напора по длине и распределение скоростей в потоке при ламинарном установившемся равномерном движении жидкости
§ 4-3. ЗАКОНЫ ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ В ЖИДКОСТИ.
Величина касательных напряжений грения при ламинарном движении жидкости
Представим на продольном разрезе потока (рис. 4-5) некоторое живое сечение АВ и соответствующую ему эпюру скоростей ABC. Покажем далее два слоя жидкости (заштрихованы на чертеже), из которых первый слой движется со скоростью u1 а второй - со скоростью u2. Поверхность соприкосновения 1 - 1 этих жидких слоев имеет площадь S. По этой поверхности (вдоль нее) в реальной (вязкой) жидкости развиваются парные силы внутреннего трения: T1, приложенная к первому слою со стороны второго, и Т2, приложенная ко второму слою со стороны первого. Очевидно,
(4-21)
причем первый слой жидкости, движущийся с большей скоростью, за счет трения по поверхности 1 - 1 способствует ускорению движения второго слоя; второй же слой, наоборот, благодаря трению тормозит первый слой.
Рассматривая реальную жидкость, как сплошную среду (в данном случае движущуюся), имеющую касательные напряжения τ, обусловленные существованием сил T1 и Т2 (см. рис. 1-10,а, на котором изображен эллипсоид напряжений, относящийся к общему случаю движения реальной жидкости), мы, естественно, должны иметь ввиду, что силы трения будут возникать не только вдоль поверхности 1 – 1, но и вдоль других направлений, намеченных в точке m (исключение здесь будут составлять только направления главных осей деформаций). В частности, силы трения будут иметь место и в плоскости живого сечения AB.
Мы однако, ограничимся рассмотрением только продольных касательных сил трения, действующих вдоль линий тока, причём будем иметь в виду исключительно прямолинейно параллельноструйный поток жидкости.
Законы продольного внутреннего трения, относящиеся к такому случаю движения, были установлены Ньютоном в 1686 г. Эти законы можно сформулировать так:
Рис. 4-4. К пояснению законов продольного внутреннего трения в жидкости (для прямолинейного движения)
Сила Т продольного внутреннего трения в параллелъноструйном потоке жидкости, т. е. сила трения, возникающая при скольжении отдельных прямолинейных слоев жидкости, друг по другу1(рис. 4-5):
прямо пропорциональна так называемому градиенту скорости;
прямо пропорциональна площади S поверхности соприкасания данных смев жидкости;
не зависит от давления;
зависит от физических свойств жидкости (от рода жидкости), а следовательно, и от ее температуры.
Положения 1, 2 и 3 отличаются от соответствующих законов, относящихся к твердым телам: в случае твердых тел сила трения, как известно, зависит от нормального давления и практически не зависит от скорости движения тела, а также от площади S.
Законы Ньютона можно представить в аналитической форме:
(4-22)
где η — некоторый
коэффициент пропорциональности,
называемый, как отмечалось выше,
динамическим коэффициентом вязкости
или просто коэффициентом вязкости1.
Величина η зависит от рода жидкости, а
также от ее температуры; чтобы подчеркнуть
это обстоятельство, иногда η называют
коэффициентом молекулярной или физической
вязкости. Численные значения η для
различных жидкостей находятся опытным
путем при помощи особых приборов,
называемых вискозиметрами;
– градиент скорости, т. е. производная
от значения скорости|u|
по нормали
n,
проведенной к поверхности 1 - 1 соприкасания
слоев жидкости.
Если толщина выделенных на рис. 4-5 слоев жидкости бесконечно мала, то для отмеченных на чертеже величин du и dn можем написать:
(4-23)
где θ – угол, образованный вертикалью и касательной к кривой ВС эпюры скоростей в точке, лежащей на линии 1 - 1.
Именно соотношением
(4-23) и выражается градиент скорости,
входящий в формулу (4-22). Величина
зависимости от выбранного направления
n
(см. на рис.4-5
направления n1
и n2)
может быть как положительной, так и
отрицательной. С тем, чтобы в формуле
(4-22) величину Т
получать всегда положительной, в эту
формулу введено абсолютное значение
градиента скорости
.
Впрочем, в
дальнейшем для упрощения записей мы
будем часто писать в соответствующих
случаях просто
,
понимая, однако, под этой величиной
абсолютное ее значение.1
Обратим внимание,
что при равномерном распределении
скоростей поживому сечению, т. е. когда
= 0 (что может
иметь место в большом удалении от твердой
стенки D—D) силы внутреннего трения в
реальной (вязкой) жидкости согласно
(4-22) должны отсутствовать; при этом
вместо эллипсоида напряжений (рис. 1-10,
а) мы будем получать для отдельных точек
живого сечения шаровые поверхности
напряжений (рис. 1-10, б).
Касательные напряжения продольного внутреннего трения для ламинарного режима при прямолинейном движении представятся в соответствии с (4-22) зависимостью:2
(4-24)
Рассмотрим теперь поверхность дна D - D потока. У самой стенки русла (непосредственно на стенке), как это считает большинство исследователей, имеет место (как для «смачиваемого» материала стенки, так и для «несмачиваемого») скорость u = 0 (для реальной жидкости).3
Градиент скорости у стенки равен:
(4-25)
где угол θ0 показан на чертеже.
Имея это в виду, силу Т0 и напряжение τ0 трения на стенке в случае ламинарного режима можно представить зависимостями:
(4-26)
где S0 — площадь смоченной поверхности стенки.1
Если в предыдущем параграфе была установлена зависимость τ (или τ0) от величины hl, то в этом параграфе мы установили для ламинарного режима зависимость τ (или τ0) от вязкости жидкости и интенсивности изменения скорости u по живому сечению. Как видно, используя две указанные зависимости, можно через величину τ (или τ0) установить аналитическую связь между потерями напора hl и физическими свойствами жидкости, а также характером распределения скоростей u по живым сечениям потока.
Величины, с которыми сталкивались выше, имеют следующую размерность:
(A)
(Б)
(В)
где М, L, t — по-прежнему символы массы, длины и времени.
Из (Б) и (В) видно, что ν в отличие от η выражается величинами, не связанными с массой жидкости; в зависимость (В) входят величины, носящие только, так сказать, кинематический характер, в то время как зависимость (Б) носит динамический характер. Именно поэтому η называют динамическим, а ν - кинематическим коэффициентом вязкости.
В качестве единицы измерения величины η принимают:
где Па – паскаль, П – так называемый «пуаз», г – грамм массы; в качестве же единицы ν принимают:
где Ст – так называемый «стокс», г – грамм массы.
Величины η и ν для данной жидкости существенно зависят от температуры. Численные значения этих коэффициентов, найденные опытным путем (при помощи вискозиметров) для некоторых жидкостей, имеющих различную температуру, приводятся в табл. 4-1. Как видно, из этой таблицы, имеем следующие примерные значения η и ν для воды:
а) при температуре ее равной 20°С η ≈ 0,001 Па∙с = 0,01 П;
ν ≈ 10-6 м2/с = 10-2 Ст;
б) при температуре ее равной 10°С η = 0,00131 Па∙с = 0,0131 П;
ν = 1,31∙10-6 м3/с = 1,31∙10-2 Ст.
Таблица 4-1
Коэффициенты вязкости η (в пуазах) и ν (в стоксах) для некоторых жидкостей
|
Наименование жидкости |
t, °C |
η |
ν | ||
|
Па∙с |
П |
м2/с |
Ст | ||
|
|
0 |
0,001792 |
0,01792 |
1,792∙10-6 |
0,01792 |
|
|
10 |
0,001306 |
0,01306 |
1,306∙10-6 |
0,01306 |
|
|
20 |
0,001004 |
0.01004 |
1,006∙10-6 |
0,01006 |
|
Вода |
30 |
0,000802 |
0,00802 |
0,805∙10-6 |
0,00805 |
|
|
40 |
0.000654 |
0,00654 |
0,659∙10-6 |
0,00659 |
|
|
50 |
0.000549 |
0,00549 |
0,556∙10-6 |
0,00556 |
|
Бензин |
15 |
0,000650 |
0,00650 |
0.930∙10-6 |
0,00930 |
|
Спирт этиловый |
20 |
0,001190 |
0,01190 |
1,540∙10-6 |
0,01540 |
|
Ртуть |
15 |
0,001540 |
0,01540 |
0,110∙10-6 |
0.00110 |
|
Скипидар |
16 |
0,001600 |
0,01600 |
1,830∙10-6 |
0,01830 |
|
Керосин |
15 |
0,002170 |
0,02170 |
2.700∙10-6 |
0,02700 |
|
Глицерин (50%-ный) |
20 |
0,006030 |
0,06030 |
5,980∙10-6 |
0,05980 |
|
Масло: |
|
|
|
|
|
|
трансформаторное |
20 |
0,027500 |
0,27500 |
31,000∙10-6 |
0.31000 |
|
веретенное «АУ» |
20 |
0,042700 |
0,42700 |
48.000∙10-6 |
0,48000 |
|
турбинное |
20 |
0,086000 |
0.86000 |
96,000∙10-6 |
0,96000 |
§ 4-4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ u ПО ЖИВОМУ СЕЧЕНИЮ