§ 3-5. Потенциал скорости. Потенциальное движение жидкости

Область, занятую движущейся жидкостью, можно себе представить как векторное поле скоростей (см. рис. 2-7, а). Рассмотрим частный случай дви­жения жидкости, когда это векторное поле является потенциальным, т. е. таким, которое может быть описано некоторой функцией (x, у, z), обладающей следующим свойством (см. конец § 2-4):

(3-21)

Дифференцируя первое из этих уравнений по у и второе по х, получаем:

(3-22)

вычитая теперь из второго равенства (3-22) первое равенство (3-22), имеем:

(3-23)

Рассуждая аналогично, можем показать, что имеют место также равен­ства:

(3-24)

Подставляя выражения (3-23) и (3-24) в уравнения (3-20), получаем

Ω_x = Ω_y = Ω_z = 0, (3-25)

Отсюда можно сделать следующий вывод: если рассматриваемое поле скоростей имеет потенциальную функцию (потенциал скорости ), т. е. является потенциальным, то средние угловые скорости О. вращения частиц жидкости относительно своих мгновенных осей должны равняться нулю, и мы будем иметь безвихревое движение.

Следует запомнить, что потенциальное движение всегда является безвихревым.

Можно показать, что и наоборот: безвихревое движение жидкости всегда является потенциальным.

Все существующие формы движения жидкости можно разбить на д в а вида:

а) движения безвихревые (потенциальные), обладающие потенциалом скорости ;

б) движения вихревые, для которых функция , поясненная выше, не существует.

В случае потенциального (безвихревого) потока жидкости при­ходится отыскивать одну функцию , удовлетворяющую соответствующимграничным и начальным условиям и выражающую согласно (3-21) компоненты скорости и_х, и_у, и_z.

В случае же вихревого движения задача должна состоять, вообще го­воря, в отыскании трех функций, которые должны зависеть от координат и времени, удовлетворять соответствующим граничным и начальным усло­виям и выражать соответственно компоненты скорости и_х, и_у, и_z.

Отсюда видно, что исследование безвихревого (потенциального) потока является задачей значительно более простой, чем исследование вихревого потока.

В случае простейших потенциальных потоков функция отыскивается иногда достаточнопросто. Например, предположим, что нам задано движение, характеризуемое условием:

и_х = и₀ = const; и_y = 0; и_z= 0.

Для такого движения траектории частиц жидкости представляют собой прямые линии, параллельные оси х, а поверхности равного потенциала (=const) — плоскости, параллель­ные координатной плоскости уОz. В данном случае величина

Действительно, дифференцируя это соотношение по координатам, получаем приведенные выше величины и_х, и_у, и_z.

В более сложных случаях потенциального движения для отыскания приходится поль­зоваться особыми методами (изучаемыми в курсах математики). Иногда может быть использован так называемый метод сложения («наложения» — суперпозиции) потенциальных потоков. Он заключается в следующем.

Положим, что нам известно несколько потенциальных функций: ₁, ₂, ₃, . . ., _n. каждая из которых дает вполне определенный потенциальный поток.

Возьмем алгебраическую сумму указанных функций:

(3-25’)

Можно доказать, что функция будет давать новый потенциальный поток (доказательстваздесь не приводим). Такой поток будет более сложным. Например, составляющая и_х скорости этого потока будет

где , ,, . . . .,— составляющие и_х скорости для указанных простейших потоков, найденные в соответствующей точке.

Из сказанного заключаем, что новый поток, описываемый функцией , характеризуетсяследующим: скорость в любой точке такого потока равна геометрической сумме соответствующих скоростей простейших потоков:

где . — векторы скорости простейших потоков, найденные для рассматриваемой точки заданной области.

Если мы имеем сложный поток, то, как ясно из сказанного, для отыскания ф можно иногда поступить следующим образом. Разложить скорости и сложного потока на составляющие их (и₁, и₂, и₃, . . ,). Рассматривая затем отдельно поле скоростей и₁, и₂, и₃, . . , можем найти для каждого простейшего поля свою потенциальную функцию ( ₁, ₂, ₃, . . ,) Наконец, по формуле (3-25') вычислить искомую функцию .