Гидравлика / Конспект лекций / Лекция 7

77

Лекция 7. Гидромеханика трубопроводов

7.1. Одномерное движение жидкости в трубе

Рассмотрим одномерное движение жидкости в трубе на участке 1-1 (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Движение жидкости на участке трубы

При равномерном движении эпюры скоростей одинаковы в поперечных сечениях по длине трубы.

Составим уравнение равновесия суммы проекций внешних сил на ось движения Х, действующих на отсек 1 – 2, в виде

Силы давления приложены в центрах давления и и равны и где и - давления в центрах тяжести сечений и

По смоченной боковой поверхности потока где - смоченный периметр, а l – длина отсека, действуют давления , направленные по нормали, и касательные напряжения

По всей смоченной поверхности действуют силы трения

Силы тяжести жидкости в отсеке 1 – 2 в проекции на ось равны

(7.1)

Из треугольника и силового треугольника с гипотенузой найдем

(7.2)

и

(7.3)

Проекции всех сил дают уравнение

(7.4)

что после перегруппировки и деления на позволяет записать

(7.5)

Поскольку скоростной напор в равномерном движении постоянен, то есть то потери напора равны

(7.6)

где а - гидравлический радиус.

Величина - гидравлический уклон, поэтому основное уравнение равномерного движения будет

(7.7)

Величина касательных напряжений в большинстве задач квадратично зависит от скорости

(7.8)

где - коэффициент местного трения.

Из предыдущего уравнения следует

(7.9)

или

(7.10)

Учитывая, что , и обозначив получим формулу Дарси-Вейсбаха для потерь по длине

(7.11)

где - коэффициент трения или коэффициент Дарси.

Обозначив , получим формулу

(7.12)

которая называется формулой Вейсбаха.

Это обобщение формулы Дарси-Вейсбаха дает возможность рассчитывать местные сопротивления.

Из формулы с учетом и получим формулу Шези

(7.13)

где - коэффициент Шези с размерностью в СИ

- модуль скорости с размерностью

7.2. Режимы движения жидкости. Число Рейнольдса

Механизм перемещения отдельных частиц изучался О. Рейнольдсом путем их визуализации. Струйка жидкости подкрашивалась и ее характер фиксировался при разных средних скоростях (рис. 7.2).

В результате установлено, что до некоторой скорости график функции является прямой и потери энергии линейно возрастают с возрастанием скорости. Затем функция становится квадратичной . Области разделяются критической скоростью .

Рис. 7.2. Опыты Рейнольдса

В области до критической скорости режим движения ламинарный (слоистый). Затем появляются поперечные пульсации и движение становится вихревым. Наконец, с ростом скорости процесс становится хаотическим и режим становится турбулентным.

Обобщение условий смены режима движения определяется безразмерным параметром, называемым числом Рейнольдса:

, (7.14)

где - скорость потока; L - характерный размер; - кинематическая вязкость.

Критические точки перехода от одного режима движения к другому характеризуются нижним и верхним числами Рейнольдса

и , (7.15)

причем

(7.16)

7.3. Формула Пуазейля

При ламинарном режиме движения касательное напряжение в круглой трубе при равномерном движении имеет вид

, (7.17)

где - гидравлический радиус.

Распределение давлений в трубе подчиняется гидростатическому закону.

Касательные напряжения по закону Ньютона равны

, (7.18)

поэтому с учетом предыдущего и интегрирования

. (7.19)

из условия нулевой скорости на стенках трубы получим

, (7.20)

поэтому

. (7.21)

Эпюра скоростей в живом сечении будет параболоидом вращения и максимум достигается на оси трубы

. (7.22)

Элементарный расход в кольцевом сечении равен

. (7.23)

Интегрирование в пределах от r=0 до r=r₀ дает

. (7.24)

Средняя скорость потока равна

. (7.25)

Потери напора определяются из условия , поэтому

. (7.26)

Это формула Пуазейля.

7.4. Длина пути перемешивания

Поскольку , то, исключив , запишем

. (7.27)

При турбулентном режиме закон Ньютона может быть модернизирован по Буссинеску

. (7.28)

Прандтль ввел понятие длины пути перемещения и дал формулу

, (7.29)

где l- осредненное значение пути перемешивания аналогичное длине свободного пробега молекулы в кинетической теории газов.

В теории турбулентности вводится понятий динамической скорости

, (7.30)

где - касательное напряжение на стенке.

По Прандтлю длина пути перемешивания равна

, (7.31)

где - постоянная, поэтому распределение скоростей в турбулентном потоке равно

(7.32)