Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Reshenie_S4_Dopolnenie_k_teorii

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.03.2016

Размер:

1.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

208. (ЕГЭ, 2012). В каком отношении

точка касания вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит его боковую сторону (считая от вершины), если известно, что отношение радиусов его вписанной окружности и окружности, касающейся стороны треугольника и про-

должений двух других сторон, равно 2 ? 7

Ответ: 4 или 3 . Указание. См. «Ре- 5 2

шебник», Глава 2, задача 17.

209. (ЕГЭ, 2012). Найдите угол при

основании равнобедренного треугольника если известно, что отношение радиусов его вписанной окружности и окружности, касающейся стороны треугольника и продолжении двух других его сторон,

равно 2 . 5

Ответ: arccos	3	или arccos	2	. См. «Ре-

7		3

шебник», Глава 2, задача 17.

210. В равнобедренном треугольнике

боковая сторона равна 10, а основание равно 12. Окружность с центром на стороне треугольника касается двух других его сторон. Найдите радиус окружности.

A G C

Рис. 102

Ответ: 24 или 48 . Указание. 1-й слу-

5 11

чай: пусть центр окружности лежит на боковой стороне ВС треугольника АВС (рис. 102). Площадь треугольника АВС равна 48. Используя равенство SABC SAOB SAOC , полу-

чим уравнение 48 1 r 10 1 r 12 .

2 2

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Отсюда искомый радиус r 48 .

2-й случай, когда центр окружности лежит на основании АС, рассмотрите самостоятельно.

211. На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные 1 и 2. Найдите основание треугольника.

Ответ: 6 или 12 . Указание. 1-й слу-

чай: BG 1 и CG 2 , тогда AB BC 3

(рис. 103). Далее использовать теорему Пифагора для прямоугольных треугольников

ABG и ACG.

1	G
O
	2
A	C

Рис. 103

2-й случай, когда BG 2 и CG 1.

212. На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные а и b. Найдите основание треугольника.

Ответ: 2a(a b) или		2b(a b) .	Указа-

ние. AC	AD2 DC2	AB2 BD2	DC2
(рис. 104).

a+b	a	D
		b

A C

Рис. 104

213.В треугольнике АВС AC BC 5

иC 120 . Точка K лежит на стороне АВ и делит ее в отношении AK:KB 1:4. Найдите радиус окружности, касающейся

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

прямых АС и ВС и проходящей через точку K.

Ответ: 53 6 . Указание. 1-й случай:

пусть точка касания F лежит на отрезке АС (рис. 105). Используя свойство секущей и

касательной			AF2 AK AH ,			найдем
AF 2	3	.	Тогда FC 5 2	3	.	Из прямо-

угольного треугольника OFC получим длину радиуса OF (5 23) tg60 53 6.

K E H

Рис. 105

Второй случай, когда точка касания F лежит вне отрезка АС за точку А, рассмотрите самостоятельно.

214. В равнобедренном треугольнике АВС на основании АС взята точка М так, что AM a, MC b. В треугольники АВМ и СВМ вписаны окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей со стороной ВМ.

Ответ: | a b | . Указание. Длины отрез- 2

ков касательных при вершине М в треуголь-

никах АВМ и ВМС равны AM BM AB и

CM BM BC соответственно. 2

215. Вершину правильного треугольника соединили отрезком с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 3:5. В образовавшиеся при этом два треугольника вписали круги, площадь одного из которых равна 36. Найдите площадь второго круга.

Ответ: 16 или 81. Указание. Пусть в тре-

угольнике АВС точка D делит сторону ВС в отношении 3:5 (считая от точки В). Если

AB 8a , то BD 3a и CD 5a . Исполь-

зуя теорему косинусов, найдем AD 7a .

Применить формулу r S для каждого из p

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

треугольников ABD и ACD и показать, что отношение квадратов радиусов вписанных

кругов равно 4 .

216. В равнобедренном треугольнике с

углом 120 радиус вписанной окружности равен R. Внутри треугольника расположены два равных, касающихся друг друга круга, каждый из которых касается одной боковой стороны треугольника и вписанной в треугольник окружности. Найдите радиусы этих кругов.

Ответ: R или (3 2 2)R . Указание. См.

3 3

«Решебник», Глава 2, задачу 16.

217. Дан треугольник со сторонами 26,

26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Ответ: 4 или 260 . Указание. См. «Ре-

шебник», Глава 2, задача 16.

218. (Юг, пробный ЕГЭ, 2012). Ради-

ус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник равен 150 см, а ко-

синус угла при его основании равен 7 .

Найдите радиус окружности, касающейся вписанной окружности этого треугольника и двух его сторон.

Ответ: 10 см или 90 см. Указание. См. «Пособие», пример 4.

219. (ЕГЭ, 2012). Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если известно, что радиус его вписанной окружности в 6 раз меньше радиуса окружности, касающейся стороны и продолжений двух других сторон

треугольника.

Ответ: 1 или 5 . Указание. Использо-

5 7

вать формулы: радиуса окружности, вписан-

ной в треугольник r S ; радиуса вневпи- p

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

санной окружности треугольника, касающей-

ся стороны a , r	S	.

a	p a

220. Одна окружность описана около равностороннего треугольника АВС, а вторая вписана в угол A и касается первой окружности. Найдите отношение радиусов окружностей.

Ответ: 3:2 или 1:2. Указание. Исполь-

зовать свойство катета, лежащего против уг-

ла	30 .	Например	(рис.	106),
BG BO1 O1G 2r r 3r			и BG диаметр

описанной около треугольника окружности, равный BG 2R . Отсюда 3r 2R .

rO1 r A r C

r1 r1 O2

Рис. 106

221. В равнобедренный треугольник с основанием 10 и боковой стороной 13 вписана окружность. Вторая окружность касается двух сторон треугольника и первой окружности. Найдите радиус второй окружности.

Ответ: 40 или 10(17 413) . Указание. 27 27

См. «Решебник», Глава 2, задача 14.

222. Вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 25 и основанием 48 служит центром данной окружности радиуса 3. Найдите радиус окружности, касающейся данной и проходящей через концы основания треугольника.

Ответ: 74 или 169. Указание. См. «Ре-

шебник», Глава 3, задача 4.

223. Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на другой – точки A и B, причем треугольник АВС – остроугольный и равнобедренный и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Ответ:	5 5	или	3	. Указание. См.
2			2
«Пособие», пример 13.

224. Расстояние между параллельными

прямыми равно 12. На одной из них лежит точка С, а на другой – точки А и В, причем треугольник АВС – равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Ответ: 39 913 или 26 413 , или 10. 2 3 3

Указание. См. «Пособие», пример 13.

225. (Москва, репетиционный экза-

мен, 2012). Расстояние между параллельными прямыми равно 24. На одной из них лежит точка С, а на другой – точки А и В, причем треугольник АВС – остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 25. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

АВС.

Ответ: 625 или 125 . Указание. См. пре48 8

дыдущие задачи.

226. (МИОО, 2011) Расстояние между

параллельными прямыми равно 6. На одной из них лежит вершина C, на другой – основание AB равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB = 16. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника ABC.

Ответ: 10 или 730 . Указание. См. 3 3

«Решебник», Глава 2, задача 10.

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

227. Высота равнобедренного тре-

SABC pr 1 h 2y.

угольника, опущенная на основание, рав-

Отсюда

на 45, точка касания вписанной окружно-

(x 2y)r y2 x

сти с боковой стороной делит эту сторо-

или y2x 2yr2

xr2

0 .

ну в отношении 8 : 9, считая от основа-

Отсюда

ния. Найдите радиус окружности, ка-

2r4 r

сающейся стороны треугольника и про-

y1,2

4S2 4Sr2

должений двух других его сторон.

2S r

Ответ: 40 или 45. Указание. См. «Решеб-

Так как в квадратном уравнении свободный

ник», Глава 2, задача 13.

член отрицательный, то корни y1

и y2

разно-

228.

Высота

равнобедренного

тре-

го знака.

Остается

подставить

полученные

угольника, опущенная на основание, рав-

значения в формулу SABC

y2x

на 9,

а радиус вписанной в треугольник

окружности равен 4. Найдите радиус ок-

Второй

случай,

соответствующий

каса-

ружности,

касающейся

стороны

тре-

тельной к

окружности,

проведенной

через

угольника и продолжении двух его сто-

точку M1, решается аналогично.

рон.

230. Около равнобедренного треуголь-

Ответ: 9 или 36. Указание. См. «Решеб-

ника

АВС

(AC BC)

описана окруж-

ник», Глава 2, задача 13.

ность

радиуса

Угол С треугольника

229. Дан равнобедренный треугольник

имеет

величину

Точка Е –

ABC (AB BC). В точке M к окружности,

вписанной в треугольник,

проведена ка-

середина

дуги

ВС описанной окружно-

сательная,

перпендикулярная

стороне

сти. Найдите радиус окружности, касаю-

BC. D –

точка пересечения касательной

щейся внешним образом описанной ок-

со

стороной

BC.

Определите

площадь

ружности в точке Е и прямой АВ.

треугольника ABC, если радиус вписан-

Ответ: Если 0 , то

ной окружности равен r,

а площадь тре-

угольника MBD равна S.

4Sr

cos sin

R cos sin

Ответ:

или

;

2S r2

4S2 4Sr2 2r4 r2

1 sin

. Указание. 1-й слу-

2S r2

если

R cos sin

чай: пусть

BE x ,

AC 2y,

BH h

(рис.

, то

2R ;

107).

Четырехугольник

MOED

квадрат,

1 sin

1(x r)r S .

, то

BD x r ,

MD r ,

SBMD

если

2S r

Отсюда x

cos sin

или

R sin

cos

Треугольники HBC и

1 sin

OBE

подобны,

1 sin

M1 r

y h и h yx . По-

Указание. Хорда ВС разбивает окруж-

пло-

лупериметр

ность на две дуги. Рассмотреть случаи распо-

щадь

треугольника

ложения точки Е на этих дугах в зависимости

ABC

соответственно

от величины угла .

Рис. 107

равны

p x 2y

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

	C		O1
	C	E
		E
	O		M
A	D	B	N

Рис. 108а
1-й случай: пусть		и точка Е
	2
3

расположена на малой дуге ВС (рис. 108а, б).

Обозначим длину искомого радиуса				O1N
через x.		Тогда	OO1 R x.	Пусть
BCD	,	тогда BOD 2 BCD (как

2
центральный		угол),	OOM BCD

			1	2

(как углы со взаимно перпендикулярными сторонами).

		C
M		O
N	A	D	B
		E
O1

Тогда		O M (R x)sin				и
			1		2
					2
O1M O1N OD x Rcos . Из полученно-
го уравнения		x Rcos (R x)sin				нахо-
					2

дим x	R sin	2	cos
дим x		2		.
	1 sin
				2
				C
		E		O
	O1	E		K
	O1			K
	N	A			B
				Рис. 108в
Случаи, когда				или	0 , рас-
				3	3
смотрите самостоятельно.

Рис. 108б

Из прямоугольного треугольника O1OM

имеем O M (R x)sin		. С другой стороны

1	2

O1M O1N OD x Rcos . Из полученно-

го уравнения

x Rcos (R x)sin

нахо-

R cos sin

дим x

1 sin

2-й случай:

пусть

и точка Е

расположена на большой дуге ВС (рис. 108в).

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Четырехугольник и окружность

231. Длины соседних сторон, вписан-

ного в окружность, четырехугольника отличаются на 1. Длина наименьшей из них также равна 1. Найдите радиус окружности.

Ответ: 5 или 21 . Указание. Пусть

2 3

наименьшая сторона BC 1, тогда длины соседних сторон AB CD 2. Для стороны AD возможны два значения.

1-й случай: AD 3 (рис. 109а). Хорды АВ

и СD равны, поэтому BC AD и АВСD – равнобедренная трапеция. Проведем

BE AD, тогда	AE	3 1	1,	DE 2. Из

	2

прямоугольного треугольника АВЕ находим

BE 22 12 3, а из прямоугольного треугольника ВDЕ получаем

BD 22 (3)2 7 . Так как в прямо-

угольном треугольнике гипотенуза AB 2 и катет AE 1, то BAE 60 . Для треугольника АВD запишем BD 2Rsin BAD. Отсю-

да радиус окружности R		7		21	.
		2sin60
			3
B	C	B		C

A E D

A D

а б

Рис. 109

2-й случай: AD 1 (рис. 109б). Значит,

АВСD – прямоугольник. Радиус окружности, описанной около прямоугольника равен

R 22 12 5 .

232.Четырехугольник KLMN вписан в окружность, его диагонали KМ и LN пе-

ресекаются в точке	F, причем KL 8,
MN 4, периметр	треугольника MNF

равен 9, площадь треугольника KLF рав-

на 315 . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KNF.

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Ответ: 4 15 или 8 15 . Указание. Тре-

5 15

угольники KLF и MNF подобны подвум углам (рисунок сделайте самостоятельно), поэтому

SMNF	MN 2		1			3	15
				. Отсюда	SMNF			.
SKLF
		KL	4			4

Пусть MF x, тогда FN 5 x. По формуле Герона

	9	9			9			1	3 15
SMNF				4			x x			.
			2			2		2	4
	2

Получаем уравнение x2 5x 6 0, имеющее корни x 2 или x 3.

1-й случай. Пусть MF 2, тогда FN 3,

KF 2 FN 6.					Из					треугольника					MNF най-
дем cos FMN							22			42 32		11		.
дем cos FMN									2 2 4					.
									2 2 4		16
Из теоремы косинусов для треугольника

KMN найдем					KN 82 42 2 8 4												11		6.
KMN найдем					KN 82 42 2 8 4														6.
															16
Площади треугольников KLF и KFN с общей
высотой связаны равенством													SKLF			LF		, по-
высотой связаны равенством													SKFN					, по-
													SKFN			FN
этому SKFN			9							. Радиус
			9			15						R окружности,
												R окружности,
					4
описанной около треугольника KNF, равен
R	6 6 3			4				15		.
R										.
	4	9 15			5
	4
4

2-й случай, когда MF 3 и FN 2, рассмотрите самостоятельно.

233. Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точке M. Найдите периметр треугольника ABM, если известно, что AB a и CD b.

Ответ:	2a2		2ab		Указание. Так
Ответ:		или		.	Указание. Так
	a b		b a

как не указано большее основание, то возможны два случая: b a или a b.

1-й случай: пусть b a. Так как четырехугольник ABCD описан около окружности, то

AD BC AB CD a b (рис.		110а). Так
как четырехугольник ABCD вписан в окруж-
ность, то	BAD BCD 180 .	С другой
стороны	BAD MAB 180 .	Значит,

MAB MCD. Отсюда следует, что треугольники ABM и CDM подобны, и коэффи-

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

циент подобия k a . Обозначим периметры b

PABM P			и		PCDM P1 .	Находим
P1 P a b (a b) P 2b.						Так как
P	a	, то	P	a	. Откуда P	2ab	.
P1 b			P 2b b			b a
					B	C

Рис. 110а

2-й случай (рис. 110б) рассмотрите самостоятельно.

Рис. 110б

234. (Санкт-Петербург, репетицион-

ный экзамен, 2011). Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые АВ и DС пересекаются в точке М. Найдите площадь четырехугольника, если известно, чтоAMD и радиусы окружностей, вписанных в треугольники ВМС и AМD, равны соответственно r и R.

	Ответ:				R(R2 r2 )
						ctg		или
						ctg	2	или
					r		2
	r(r2 R2)
		ctg		. Указание. См. упражнение
		ctg	2	. Указание. См. упражнение
	R		2
233.

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

1-й случай (рис. 111а). SABCD SADM SBCM

2			2
	R	SBCM SBCM	R	1 SBCM .
	2	SBCM SBCM	2	1 SBCM .
	r		r

Полупериметр треугольника ВСМ равен длине отрезка KМ. Из прямоугольного тре-

угольника ОKМ находим KM Rctg . Так

						2
как		SBCM	pr Rrctg		,	то

	R(R2	r2)	2
SABCD
			ctg	.
	r
			2

O O1

R r M

B N

Рис. 111а

2-й случай (рис. 111б) рассмотрите самостоятельно.

	D
M	O	O1
	R	r
	K	r
	K
	A	N

Рис. 111б

235. Четырехугольник KLMN описан около окружности и вписан в окружность. Прямые KL и NM пересекаются в точке P. Найдите площадь треугольника KPN, если известно, что KPN и радиусы окружностей, вписанных в треугольники KPN и LPM, равны соответственно r и R.

Ответ:	r2	ctg	или	Rrctg	. Указание.
	R2
		2		2

См. упражнение 234.

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Параллелограмм и окружность

236. В параллелограмме ABCD угол

ACD равен 30 . Известно, что центры окружностей, описанных около треугольников ABD и BCD, расположены на диагонали АС. Найдите угол ABD.

Ответ: 30 или 60 . Указание. Центр описанной около треугольника окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Следовательно, диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны и он является ромбом (рис. 112а).

B	O2	C	B		C
		C	B	30o	C

		o
O1	M	30		M
O1	M			M
A		D	A		D
A		D	A		D
	а	Рис. 112		б
		Рис. 112

Если центры окружностей совпадают, то параллелограмм ABCD – прямоугольник

(рис. 112б).

237. (МИОО, 2010). Дан параллело-

грамм ABCD, AB 2, BC 5, A 60 . Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найти площадь четырехугольника ABOD.

Ответ: 35 3 или 23 3 . Указание. См.

12 6

«Пособие», пример 7.

238. В параллелограмме острый угол

равен 60 , периметр равен 30, а площадь

равна 283. Найдите радиус окружности, касающейся двух сторон и диагонали параллелограмма.

Ответ:		или	5 3	19	.	Указание.
	3

		2
Зная периметр		2(a b) 30 и				площадь

absin60 283 параллелограмма, находим его стороны a 7 и b 8. Используя теорему косинусов, определим диагонали AC 13

и BD 57 . Далее использовать формулу

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

r S для треугольников АВС и ABD (рис. p

113).

B C

60o

A b D

B C

60o

A b D

Рис. 113

239. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, длина диагонали BD равна 12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников AOD и COD равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника АОВ, равен 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Ответ: 192 или 1728 . Указание. Пусть

17 25

O1 , O2 , O3 , O4 – центры окружностей, описанных около треугольников АОВ, ВОС, COD, AOD соответственно (рис. 114). Так как O1O2 , O2O3 , O3O4 , O1O4 – серединные перпендикуляры к отрезкам ВО, СО, DO и АО соответственно, то O1O2O3O4 – параллелограмм. O1O4O3 AOB . Если Е – про-


екция	точки O3	на прямую O3O4 , то
AO EO3 O3O4 16sin .			В	треугольнике
АВО	AB 2Rsin 10sin .		В треугольнике
АВО	используем	теорему		косинусов

AB2 AO2 BO2 2AO BOcos ,

100sin2 256sin2 36 192sin cos ,

3ctg2 16ctg 16 0. Последнее уравнение

имеет два решения ctg			4		и ctg 4. От-

	1	3			3
сюда sin		или sin				. Площадь па-

17				5

раллелограмма АВСD равна

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

4SAOB 4 1 AO BOsin 192sin2 . 2

Для первого случая (центры O1 , O2 и O3 ,

O4 попарно лежат по разные стороны от

прямой BD) S	ABCD		192	, во втором (центры

		17

O1 , O2 и O3 , O4 попарно лежат по одну

1728

сторону от прямой BD) S .

ABCD 25

B C

O1	O
	O3
E	D
A

Рис. 114

240. В параллелограмме ABCDAB 2,

BC 4. Площадь параллелограмма равна 43 . Круг с центром в точке А касается прямой BD. Найдите площадь части круга, расположенной внутри параллелограмма.

K B C

A D

Ответ: 2 или 4 . Указание. Используя

	3			7
площадь			параллелограмма,		найдем
sin A		3	(рис.	115). Далее следует рас-
	2
смотреть			два	случая: A 60	или

A 120 .

241. (МГУ). В параллелограмме ABCD

угол BCD равен 150 , а сторона AD равна 8. Найдите радиус окружности, касающейся прямой CD и проходящей через вершину А, а также пересекающей сторону AD на расстоянии 2 от точки D.

Ответ:

10 4 3 .

Указание. 1-й случай:

пусть точка

касания

лежит на отрезке CD

(рис. 116а). Так как

LD 2 , то по свойству

секущей

касательной

имеем

DK2 DL DA . Отсюда

DK 4 . В тре-

угольнике KLD используем теорему косину-

сов: KL2 4 16 2 2 4

20 8

Из треугольников

KLD

и AKL

получаем

соот-

sin LKD

sin30

2sin KAL

ветственно.

Так как

LKD KAL ,

то из

последних

двух

равенств

получаем

R KL2 10 43 . 2

B C

A L D

Рис. 116а

2-й случай, когда точка касания лежит на продолжении отрезка CD за точку D (рис. 116б), рассмотрите самостоятельно.

B C B C

L D

A D A

Рис. 115

Рис. 116б

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

242. В параллелограмме ABCD извест-

ны стороны AB a, BC b и ABC . Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DАВ.

Ответ: a2 b2 2abcos |ctg |. Ука-

зание. См. «Решебник», Глава 4, задача 11.

243.Длины сторон параллелограмма а

иb (a b) острый угол равен . Найди-

те радиус окружности, проходящей через вершину одного из острых углов и касающейся двух несмежных с ней сторон параллелограмма или их продолжений.

Ответ: a b 2ab(1 cos ) tg . Ука- 2

зание. Возможны две конфигурации, удовлетворяющие условию задачи.

B N a

b r r O1

A M D

Рис. 117

1-й случай: пусть вершина, через которую проходит окружность, лежит на большей из двух дуг, на которые указанные в условии точки касания разбивают окружность (рис. 117). Центр окружности О лежит на биссектрисе угла C параллелограмма. Пусть искомый радиус окружности равен r. Рассмотрим прямоугольный треугольник AO1M :

AO12 O1M2 AM2 , AO1 r , O1M NM O1N AK r bsin r ,

AM KC NC a bcos rctg .

Так как ctg 1 cos , то получаем:

2sin

bsin r 2 a bcos r 1 cos 2 r2 .

sin

Отсюда после преобразований следует:

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

	1 cos 2
a b r		2ab(1 cos ).
	sin

Отсюда получаем два значения r, меньший из которых соответствует рассматриваемому случаю, а больший – второму случаю, когда вершина А лежит на меньшей из двух дуг, на которые указанные в условии точки касания разбивают окружность.

Ромб и окружность

244. В ромб ABCD с острым углом 60 вписана окружность с центром О. Н – точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите сторону ромба, если

OH 1.

Ответ: 2 или 23 . Указание. Треуголь-

ник АВС – равносторонний (рис. 118). Точка Н – точка пересечения медиан, поэтому BH 2, высота OB 3. Сторона правильно-

го треугольника равна 2OB 23 .

A E B

1 H

D C

Рис. 118

2-й случай: переобозначить вершины ромба так, чтобы в треугольнике АВС B 120 .

245. В параллелограмме ABCD диаго-

нали перпендикулярны, острый угол равен 60 . Найдите расстояние от центра описанной около треугольника АВС окружности до центра окружности, вписанной в параллелограмм ABCD, если

AB 23.

Ответ: 1 или 3 . Указание. См. упраж-

нение 244.

246. Дан ромб ABCD с диагоналями AC 24 и BD 10. Проведена окруж-

ность радиуса 5 2 с центром в точке пе-

ресечения диагоналей ромба. Прямая,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.2019125.44 Кб55Razdel_4.doc
#
02.05.2015144.9 Кб42razlinovannyy_2003.doc
#
02.05.2015386.56 Кб35Referat.doc
#
01.12.201826.83 Кб9Referat_po_himii.docx
#
02.09.2019152.58 Кб12relef.doc
#
10.03.20161.61 Mб94Reshenie_S4_Dopolnenie_k_teorii.pdf
#
01.03.2025122.1 Кб3rup.docx
#
01.07.2025184.32 Кб0Sanya.doc
#
01.05.2025176.17 Кб1seti.docx
#
01.05.2025203.04 Кб0seti1.docx
#
02.05.2015538.28 Кб59sluchainye_sobytija.pdf