Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1298 вузов, 5040 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Reshenie_S4_Dopolnenie_k_teorii

.pdf
Скачиваний:
92
Добавлен:
10.03.2016
Размер:
1.61 Mб
Скачать
☆

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

322.Даны две окружности радиусов 3

и4. Расстояние между их центрами равно

25. К этим окружностям проведена общая внутренняя касательная. Найдите радиус окружности, касающейся общей внутренней касательной и обеих данных окружностей.

Ответ: 36 или 48. Указание. См. «Посо-

бие», пример 5.

Три окружности

323. Найдите радиусы трех попарно касающихся окружностей с центрами в вершинахтреугольника со сторонами 8, 9и 10.

Ответ: (4,5; 3,5; 5,5), (13,5; 5,5; 3,5), (5,5; 13,5; 4,5), (3,5; 4,5; 13,5). Указание.

Пусть AB 8, BC 9 и AC 10.

B

9–x 9–x

F

D

 

x–1

x

 

A

x–1

E

x

C

Рис. 162а

1-й случай: пусть окружности касаются внешним образом (рис. 162а). Если окружность с центром С имеет радиус х, то последовательно получаем окружность с центром В радиуса 9 x, окружность с центром А ра-

диуса x 1.

AC AE EC , то

 

Так как

получаем

уравнение

x 1 x 10. Отсюда

x 5,5.

Следовательно, находим радиусы окружно-

стей (3,5; 4,5; 5,5).

x

–

8

 

 

 

B

2-й случай: окружность с центром А касается окружностей с центрами В и С внутренним образом, окружности с центрами В и С касаются внешним образом (рис. 162б).

Если радиус окружности с центром А равен х, то радиусы окружностей с центрами В

и С будут

соответственно

равны

x 8 и

x 10.

Так

как

BC 9,

то

(x 8) (x 10) 9. Отсюда

x 13,5. Радиу-

сы окружностей равны (3,5; 5,5; 13,5). Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.

324. Точка В – середина отрезка АС,

причем AC 6. Проведены три окружности радиуса 5 с центрами А, В и С. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся всех трех данных.

9 9

Ответ: или . Указание. См. рис.

2010

163.Использовать теорему: точка касания окружностей лежит на линии центров и расстояние между их центрами равно сумме радиусов при внешнем касании и разности – при внутреннем.

Тогда, например, для треугольника AOC

медиана

OB 5 r,

стороны

AO 5 r,

OC 5 r

и AC 6.

Из формулы для ме-

дианы получаем уравнение

 

4(5 r)2 2(5 r)2 2(5 r)2

62 .

Отсюда r 9 .

10

 

 

 

 

 

O

r

 

 

 

 

5

 

 

r

5

 

 

–

 

 

5

–

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

A

 

3 B

3

C

 

 

 

O1

 

 

 

Рис. 163

 

 

 

 

325.

Дан отрезок длины 20. Три ок-

 

C

ружности радиуса 4 имеют центры в кон-

A

цах отрезка и в его середине. Найдите

x–10

радиус

четвертой окружности, касаю-

щейся трех данных.

Рис. 162б

101

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Ответ: 6,25 или 12,5. Указание. Пусть х –

радиус

искомой

окружности,

тогда

O1O4 x 4 , O4O2

x 4 (рис.

164а). В

прямоугольном треугольнике O1O4O2 имеем

(x 4)2 (x 4)2 102 . Отсюда x 6,25.

 

O2

O1

O3

 

O4

Рис. 164а

Второй случай (рис. 164б) рассмотрите самостоятельно.

 

K

O3

O1

O2

O4

Рис. 164б

Другие симметричные расположения искомой окружности приводят к тем же результатам.

326. Три окружности радиуса r попарно касаются друг друга. Найдите радиус окружности, касающейся всех этих окружностей.

Ответ: r

2

 

1 . Указание. Использо-

 

 

 

3

 

 

 

вать теорему: точка касания окружностей лежит на линии центров и расстояние между их центрами равно сумме радиусов при внешнем касании и разности – при внутреннем (рис. 165).

A1

 

 

rO1r r

A3

r

OrO3

O2

r

 

A2

 

 

Рис. 165

 

327. Дан отрезок а. Три окружности

радиуса R имеют центры в концах отрезка и в его середине. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.

Ответ: Если a R a , то одно решение

4 2

a2

a

a

 

a2

 

; если 0 R

 

или R

 

, то два

 

16R

4

 

2

16R

или a2 . Указание. Пусть О и r – центр и

8R

радиус четвертой окружности соответственно. Расстояния от О до А, В и С равно R x или | R x |. Рассмотрите случаи: 1) два рас-

стояния равны R x, одно равно | R x |; 2)

два расстояния равны | R x |, одно R x.

328. В полукруг радиуса R вписаны два круга, касающиеся друг друга, полукруга и его диаметра. Радиус одного из кругов равен r. Найдите радиус другого круга.

 

Rr

 

3R 2r

 

.

Ответ:

 

8(R2 2Rr)

(R 2r)

2

 

 

 

 

 

Указание. Рассмотреть два случая (рис. 166). В первом случае из прямоугольных треугольников OMO1 и ONO2 найти ОМ и

ON, где MO1 r ,

NO2 x ,

OO1 R r ,

OO2 R x , MN 2rx .

Для составления уравнения использовать равенство MO ON MN .

 

 

 

 

P

A

O1

 

O2

 

 

 

 

O3

M

 

N

C

B

O

 

 

Рис. 166

 

 

329. В квадрате АВСD, сторона которого равна а, из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга через вершины В и D. На стороне DС как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Найдите радиус окружности, касающейся проведенной дуги, полуокружности и одной из сторон квадрата.

102

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Ответ. a(9

6) ,

 

a(3 2 2) , 4a.

Используя

равенство

MN OM ON,

 

составим уравнение a 2 ay 2ay . Отсю-

 

 

 

25

 

 

 

2

25

 

Решение. 1-й случай: искомая окружность

да находим y a(3 2

2) .

 

 

 

 

касается стороны АВ квадрата АВСD (рис.

 

 

 

 

167а). Обозначим радиус этой окружности

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

через

х. Из прямоугольного треугольника

 

B

 

 

 

 

K2

C

 

 

 

АМО получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

O

N

 

 

 

AM AO2 MO2 (a x)2 x2 a2 2ax.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K K1

 

 

 

Так как OO OK K O a x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

1 1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O1

 

 

 

 

ON MN OM a x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O N DN DO a2

2ax a ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то из прямоугольного треугольника ONO1

 

A

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеем

OO2

ON2 ON2 или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 167б

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

(a x)

 

 

 

2ax

.

3-й случай: пусть искомая окружность

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

касается

стороны СD квадрата

АВСD

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

(рис. 167в).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K1

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

N

 

 

M

 

 

 

 

 

 

O N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O1

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O1

 

 

 

 

A

 

 

 

a

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 167а

 

 

 

A

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После

преобразований

a2 2ax 2a 5x

 

 

 

 

Рис. 167в

 

 

 

 

или 25x2 18ax 3a2

0

при условии x 2a .

Обозначим

радиус

этой окружности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

через z. Из прямоугольного треугольника

Получаем один корень x

a(9 6)

 

ONO1

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

O1N O1O2 ON2

 

 

 

2-й случай: искомая окружность каса-

 

 

a

2

 

 

 

a2 4az

 

 

 

ется стороны

ВС квадрата АВСD (рис.

 

 

z

2

 

 

 

 

167б). Обозначим радиус этой окружно-

 

 

z

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

сти через у. Из прямоугольного треуголь-

 

 

 

 

a2 4az a .

 

 

 

 

ника АМО получаем

 

 

 

 

 

 

Тогда

AM

Из прямоуголь-

 

OM

AO2

 

AM2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

AMO

 

 

 

 

 

 

ного

треугольника

 

 

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a y)2

(a y)2 2 ay.

 

AO2 AM2

OM2

или

 

 

 

 

 

Из

прямоугольного

 

треугольника

(a z)

2

 

a2 4az a 2

 

2

.

ONO получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a z)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

ON

OO2

O N2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

После

преобразований

 

a2 4az 10z a

 

 

a

 

2

 

 

a

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

или z 4a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y 2ay.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

103

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

330. В квадрате АВСD из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга, проходящая через вершины В и D. На сторонах ВС и СD как на диаметрах построены внутри квадрата полуокружности. Найдите радиус окружности, касающейся построенных полуокружностей и дуги ВD, если стороны квадрата равны а.

Ответ.

a(5 3 2)

,

a( 2 1)

,

a(3 2

1)

.

7

 

3

 

17

 

 

Указание. Рассмотреть отдельно три случая

(рис. 168).

B C

 

2

 

1

 

3

A

a

D

 

Рис. 168

331. Окружность вписана в квадрат со

стороной 1. Из одной его вершины проведена дуга окружности радиуса 1 до пересечения с другими двумя противоположными вершинами. Проведена окружность, которая касается вписанной окружности и проведенной дуги. Найдите радиус окружности, касающейся этой окружности, вписанной окружности и дуги.

Ответ.

5 2 1

,

7(4 2 5)

 

.

 

 

 

 

844(37 17 2)

1

2

1

Рис. 169

Указание. Рассмотреть отдельно два слу-

чая (рис. 169).

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

332. Около окружности описан квадрат со стороной а. На двух смежных сторонах этого квадрата построены полуокружности, расположенные внутри квадрата. Найдите радиус окружности, касающейся этих двух полуокружностей и окружности.

Ответ:

a( 2 1)

,

a(2 2)

,

a

 

 

,

 

 

 

4

 

 

 

 

2(4 2)

 

 

2

6

 

 

a( 2 1) . Указание. Рассмотреть отдельно

2( 2 4)

четыре случая (рис. 170).

a

4

2 3

1

Рис. 170

104

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности