2.4. Моделирование отклонений гидродинамики реакторов непрерывного действия от идеальных моделей

Гидродинамика реальных реакторов отличается от идеальных моделей смешения и вытеснения в силу следующих причин:

 Невыполнение условий идеального смешения.

На практике время смешения компонентов в емкостных аппаратах может быть соизмеримо со временем пребывания.

 Отсутствие развитого турбулентного режима, необходимого для реализации идеальных моделей.

 Наличие застойных зон.

Возникает при отсутствии равномерного перемешивания во всем объеме, например, в аппарате со змеевиком при неправильной организации перемешивания.

 Байпас (проскок) входного потока на выход из реактора.

В реальных условиях в емкостных аппаратах при недостаточном перемешивании возможен проскок части входного потока сразу на выход без смешения с основной массой.

 Наличие продольного перемешивания в трубчатых и колонных аппаратах.

Характерно для колонных аппаратов с насадкой. Вследствие неоднородности насадки и завихрений около стенок могут возникать локальные встречные потоки.

Указанные отклонения могут быть определенным образом смоделированы.

Рассмотрим реактор идеального вытеснения. Линейная скорость потока у стенки реактора всегда меньше, чем в центральной части. Следовательно, время пребывания и степень превращения больше у стенки, чем по оси потока. В трубчатом реакторе при ламинарном движении вязкой жидкости происходит параболическое распределение линейных скоростей потока по радиусу (в условиях отсутствия продольной и поперечной диффузии). Поток через такую систему представляется движением бесконечного числа концентрированных колец жидкости с радиусом Rи (R+dR), гдеR-переменная величина (рис. 9).

Согласно закону Стокса, линейная скорость потока (u) в кольцевом зазоре с радиусомRи (R+dR), в трубке с радиусомR^*и линейной скоростью по оси потокаu₀определяется следующим образом:

Учитывая следующие соотношения

u = L/; u₀ = L/₀,

можно записать:

ВеличиныRиявляются переменными. После дифференцирования получим следующее выражение

Площадь сечения потока,dS, определяется по формуле

Пренебрегая вторым порядком малости переменного радиуса, можно записать

Объемная скорость потока,dw, в кольцевом сечении равна произведению его площади на линейную скорость потока:

Так какu=L/, то

Учитывая, что

можно записать

После интегрирования получаем

Доля жидкости, имеющая время пребывания отдо (+d), определяется делениемdwнаw.

Отсюда следует, что дифференциальная функция распределения в данном случае имеет вид:

(2.55)

Таким образом, функция распределения не зависит ни от радиуса, ни от длины трубки. Следовательно, при переходе от лабораторного реактора к промышленному аппарату распределение времени пребывания не изменится, если для этих аппаратов сохраняются одинаковые значения ₀или.

Наиболее характерными причинами отклонения гидродинамики емкостных аппаратов от модели идеального смешения является наличие застойной зоныилибайпаса входного потока.

Интегральная функция распределения для модели смешения с застойной зоной (рис. 10) имеет следующий вид:

(2.56)

где V_ап– общий объем аппарата

V_см– объем зоны идеального смешения

Модель смешения при наличии байпаса входного потока (рис. 12) характеризуется интегральной функцией распределения времени пребывания следующего вида:

(2.57)

где w₀– общая объемная скорость потока

w_ап– объемная скорость потока, проходящего через аппарат.

В реакторах колонного и трубчатого типа важной причиной отклонения от идеального вытеснения является наличие продольного перемешивания. Этот фактор учитывается ячеечной моделью с обратными потоками и диффузионной моделью.

Ячеечная модель с обратными потоками (рис. 12) характеризуется следующими параметрами:

N– число ячеек

v– объемный расход входного потока

v₁– объемный расход обратного потока

f=v₁/v₂– доля обратного потока

Общее уравнение материального баланса для i-го компонента может быть записано следующим образом:

G_i=G_i ^вх–G_i^вых-G_i^реак (2.58)

Для k-ой ячейки это уравнение выглядит следующим образом:

(2.59)

Так как выполняются следующие соотношения:

то дляk-ой ячейки можно записать:

(2.60)

Для первой ячейки (k=1) это уравнение имеет вид:

Для последней ячейки (k=N) это уравнение имеет вид:

Эта система уравнений может быть решена, однако передаточная функция и дифференциальная функция распределения имеют очень сложный вид, что затрудняет анализ данной модели.

В связи с этим для анализа структуры потоков, характеризующихся продольным перемешиванием, используют диффузионную модель.

В основе диффузионной модели (рис. 13) лежит модель идеального вытеснения. Однако предполагается, что имеет место осевое смешение в потоке. Этот эффект определяется коэффициентом продольного перемешивания,D_L, который по своему смыслу аналогичен коэффициенту диффузии.

Основное уравнение, характеризующее диффузионную модель, записывается следующим образом:

(2.61)

Первый член в этом уравнении характеризует прямой поток, а второй – продольное перемешивание.

Аналитическое решение уравнения диффузионной модели очень сложное и возможно только в ограниченном числе случаев. Поэтому диффузионная модель используется, главным образом, для анализа гидродинамики.

Для определения параметра диффузионной модели, от которого зависят передаточная функция и дифференциальная функция распределения, проводится переход к безразмерным координатам, xи.

Среднее время пребывания определяется классическим образом:

где l– длина трубы

u– линейная скорость потока.

Безразмерные координаты определяются следующим выражениями:

Таким образом, мы можем записать следующие соотношения:

При анализе гидродинамики скорость реакции принимается равной нулю, w_p=0. Тогда можно записать:

или

Соотношение прямого и обратного потоков характеризуется критерием Пекле.

(2.62)

Таким образом, уравнение диффузионной модели может быть записано в виде:

(2.63)

Дифференциальная функция распределения времени пребывания диффузионной модели имеет следующий вид:

(2.64)

На практике диффузионная модель используется для анализа гидродинамики. Полученный результат, в свою очередь, используется для анализа ячеечной модели с обратными потоками, поскольку критерий Пекле связан с величинамиNиfследующим соотношением

(2.65),

где N– число ячеек

f– доля обратного потока

Это соотношение выполняется при N≥ 5.