2.2.1. Реактор идеального смещения

Модель идеального смешения представляется емкостным аппаратом с интенсивным перемешиванием (рис. 5). При этом предполагается мгновенное и полное смешение входного потока со всем содержимым аппарата. Таким образом, если С_iявляется текущей концентрациейi-го компонента в аппарате, а С_i^kявляется текущей концентрацией этого компонента на выходе из аппарата, то мы будем иметь

С_i() = C_i^k()

Рассмотрим материальный баланс по i-му компоненту в объемеVза промежуток времениd. Общее изменение в массе определяется уравнением

G=G_вх –G_вых-G_реак (2.7)

или G=VdC_i(2.8),

где dC_i– изменение концентрацииi-го компонента.

Входной поток: G_вх= С_i⁰vd, гдеv– объемный расход потока

Выходной поток: G_вых= С_i^kvd=C_ivd

Изменения в реакционной массе за счет химической реакции:

G_реак =w_рVd, гдеw_р– скорость химической реакции.

Таким образом, можно записать:

Определимвеличину среднего времени пребываниякак отношение объема аппарата к объемному расходу потока:

Тогда можно записать:

При отсутствии химического взаимодействия w_p= 0. Тогдаматериальный баланс для реактора идеального смешенияможно записать следующим образом:

(2.9)

Таким образом, мы имеем дело с дифференциальным уравнением, зависящим от времени. Решение этого уравнения проводится в комплексной области с использованием преобразования Лапласа. В результате получают передаточную функцию системы, которая определяет соотношение между выходным и входным параметром:

(2.10),

где переменная pявляется комплексной и соответствует временив уравнении 2.9.

После преобразования Лапласа и перехода в действительную область получают вид кривой дифференциального распределения С().

В области действительных переменных уравнение материального баланса для реактора идеального смешения имеет вид

(2.9)

Здесь следует ввести новую переменную, так называемое безразмерное время, которое определяется отношением текущего времени к среднему времени пребывания:

(2.11)

При переходе в комплексную область проводятся замены:

Тогда в комплексной области уравнение будет иметь вид:

И передаточная функция выглядит следующим образом:

(2.12)

В этом случае, в области действительных переменных концентрация на выходе связана с концентрацией на входе следующим уравнением:

(2.13)

Аналогичным образом могут быть произведены соответствующие преобразования для безразмерного времени:

(2.14)

(2.15)

Переход из комплексной области в действительную область осуществляется с помощью специальных таблиц. Для данного случая справедливо следующее соответствие:

Таким образом:

где

Таким образом, выходная концентрация связана с входной концентрацией следующим выражением:

(2.16)

Для безразмерного времени эта зависимость выглядит следующим образом:

(2.17)

ФункцииС()иС()связаны между собой следующими зависимостями:

(2.18)

Вид кривой С()приведен на рисунке 5.

На практике модель реактора идеального смешения реализуется в емкостных аппаратах с мешалкой при развитом турбулентном режиме, критерий РейнольдсаRe≥10⁵. Мы должны вспомнить, что в этом случае критерий Рейнольдса рассчитывается по формуле:

,

где n– число оборотов мешалки

d– диаметр мешалки

 - плотность среды

 - вязкость среды.

2. Реактор идеального вытеснения

Модель реактора идеального вытеснения представляется в виде трубки длиной Lcпостоянным сечениемSи диаметромd. Эта модель представлена на рисунке 6. Предполагается, что каждое сечение внутри потока движется параллельно самому себе. Поперек сечения имеется полное перемешивание. Между сечениями перемешивание (продольное перемешивание) отсутствует.

Концентрация i-го компонента является функцией двух переменных: текущей длины (l) и времени (). Рассмотрим материальный баланс в объемеdV за промжуток времениd.

G=G_вх –G_вых-G_реак (2.7)

С_iV = C_iv - (C_i+C_i)v - w_pV (2.19),

где V– объем трубки

v– объемная скорость потока

w_p– скорость химической реакции.

Если химическая реакция не протекает, то w_p=0, и мы можем записать

С_iV = - vC_i (2.20)

В случае протекания химической реакции получается следующее уравнение:

С_iV = - vC_i - w_pV (2.21)

Отсюда следует:

(2.22)

Среднее время пребывания в реакторе идеального вытеснения определяется следующим соотношениями:

(2.23),

где l– длина трубки

u– линейная скорость потока.

Вэтом случае можно записать

(2.24)

При отсутствии химической реакции это уравнение приобретает следующий вид:

(2.25)

В комплексной области это уравнение имеет вид

(2.26)

Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение в общем виде записывается как

(2.27)

где - константа интегрирования

к – корень характеристического уравнения

Это решение следует подставить в предыдущее выражение, представляющее собой уравнение модели реактора. В результате получаем:

Отсюда

k= -(p/u)

Решение уравнения рассматривается при двух граничных условиях.

l= 0. В этом случае

l=L. В этом случае

Среднее время пребывания в реакторе идеального вытеснения определяется следующим образом:

(2.28)

Вэтом случае можно записать

(2.29)

Таким образом передаточная функция имеет вид:

(2.30)

Таким образом, выходной сигнал идентичен входному, но наблюдается через некоторое время, которое представляет собой среднее время пребывания:

(2.31)

Режим идеального вытеснения реализуется в трубчатых реакторах при развитом турбулентном режиме, Re> 10⁵и отношенииL/d≥ 50.

2. Тепловой баланс реактора непрерывного действия

Тепловой баланс любого химико-технологического процесса в общем виде записывается следующим образом:

Q₁ + Q₂ + Q₃ = Q₄ + Q₅ + Q₆ (2.32)

Для непрерывных процессов эти величины характеризуют следующие переменные:

Q₁– энтальпия входных потоков

Q₂– количество тепла, подведенного или отведенного за счет теплоносителя

Q₃– тепловой эффект процесса

Q₄– энтальпия потоков, выходящих из реактора

Q₅– количество тепла, расходуемое на нагрев аппарата или отводимое от него

Q₆– потери тепла в окружающую среду.

В установившемся режиме для реакторов непрерывного действия Q₅ = 0.

Для процессов, протекающих при температуре ниже 100^оС,Q₆= 0.

Таким образом, для реактора непрерывного действия тепловой баланс запишется в виде:

Q₂ + Q₃ = Q₄ – Q₁ (2.33)

В дальнейших расчетах следует учитывать тот факт, что температура внутри реактора идеального вытеснения изменяется по длине реактора, а в случае реактора идеального смешения температура внутри реактора является постоянной, т.е dT/dV=0.

2. Ячеечная модель

Ячеечная модель представляет собой каскад последовательно связанных реакторов (ячеек) идеального смешения (рис. 7). В каждой ячейке реализуется гидродинамика идеального смешения. Предполагается, что все ячейки имеют одинаковый объем. Для ячеечной модели используются следующие обозначения:

V– объем всей системы

–среднее время пребывания

w– объемный расход потока через систему

N– число ячеек

Таким образом, объем ячейки определяется как

(2.34)

Время пребывания в ячейке, соответственно, равно:

(2.35)

Так как все ячейки описываются моделью идеального смешения, то для любой ячейки системы справедливо уравнение:

(2.36),

где - среднее время пребывания вk-ой ячейке

- концентрация i-го компонента вk-ой ячейке

- концентрация i-го компонента в предыдущей ячейке и на входе вk-

ую ячейку

- скорость химической реакции в k-ой ячейке

Общая передаточная функция для всей системы

(2.37)

Передаточная функция для первой ячейки

(2.38)

Отсюда:

Передаточная функция для второй ячейки

Отсюда:

Таким образом, мы можем написать общие выражения, определяющие концентрациюi-го компонента на выходе и общую передаточную функцию всей системы в целом:

(2.39)

(2.40)

Поскольку для каждой ячейки выполняется режим идеального смешения, то частная передаточная функция для одной ячейки имеет вид:

(2.41)

Для безразмерного времени эта зависимость выглядит следующим образом:

(2.42)

Тогда общая передаточная функция для ячеечной модели может быть записана следующим образом:

(2.43)

(2.44)

Для перехода в действительную область необходимо провести обратное преобразование Лапласа

(2.45)

Изображению 1/q^Nсоответствует оригинал

Сиспользованием соответствующей теоремы (теорема о сдвиге) можно записать:

(2.46)

Таким образом, аналитическое выражение для дифференциальной функции распределения для ячеечной модели имеет вид:

(2.47)

Основным параметром ячеечной модели является число ячеек N.

Рассмотрим два предельных случая: N=1 иN→.

ЕслиN=1, то

(2.48)

Таким образом, при N=1 мы имеем модель идеального смешения.

ЕслиN→, то мы можем записать

(2.49)

Проводим замену переменных

Тогда

Вэтом случае исходное выражение запишется в виде:

Учитывая, что согласно известным данным (второй замечательный предел):

можно записать

(2.50)

Таким образом, при N→мы имеем модель идеального вытеснения.

Исходя из выше изложенного мы можем сделать заключениеЮ, что ячеечная модель является универсальной для идеальных моделей. На рисунке 7 представлен вид кривых отклика для ячеечной модели в зависимости от числа ячеек.

2. Влияние гидродинамики на процесс химического превращения

Гидродинамика аппарата (реактора) существенно влияет на конечные результаты химико-технологического процесса. Рассмотрим простейшую реакцию первого порядка

А→В

В этом случае скорость реакции определяется уравнением

W_p = kC_A

Необходимо определить степень превращения вещества:

(2.51)

Рассмотрим реактор идеального смешения. В этом случаеdC_A/d=0. Тогда уравнение материального баланса имеет вид:

Учитывая, что

можно записать

Так как

,

мы можем записать

итогда

(2.52)

Теперь проведем аналогичные преобразования в случае реактора идеального вытеснения. Уравнение материального баланса для данной модели выглядит следующим образом:

(2.53)

Тогда

Учитывая, что

,

для реактора идеального вытеснения можно записать

(2.54)

На рисунке 8 представлена зависимость степени превращения от среднего времени пребывания для реактора идеального смешения и реактора идеального вытеснения. При значении параметра =constв режиме идеального вытеснения достигается более высокая степень превращения. Таким образом, для достижения заданной степени превращения в режиме идеального вытеснения величиназначительно меньше, чем в режиме идеального смешения. Следовательно, в режиме идеального вытеснения требуется меньший рабочий объем реактора.

Различия в конечных результатах процесса, полученных в режимах идеального вытеснения и идеального смешения, увеличиваются с ростом порядка химической реакции.

Таким образом, при организации непрерывных процессов целесообразно стремиться к режиму идеального вытеснения. Это достигается с использованием трубчатых аппаратов, колонных аппаратов или каскада емкостных аппаратов.