2. 2.2. Типовые динамические звенья

Типовые динамические звенья (ТДЗ) – совокупность элементарных, универсальных математических функций, наиболее часто используемых при построении динамических моделей реальных объектов. Как правило, уравнения, описывающие работу ТДЗ в динамике, определяются в виде передаточных функций, связывающих входной и выходной сигналы звеньев (см. рис. 4). Это существенно упрощает и унифицирует описание различных динамических объектов, которые можно представить в виде ТДЗ. Обычно передаточные функции записываются не для временного представления, а для представления Лапласа, связывая в этом варианте не сигналы (т. е. не функции времени), а их изображения.

Основные типовые динамические звенья и их передаточные функции приведены в табл. 3.

Таблица 3

Типовые динамические звенья

№	Название звена	Передаточная функция
1	Усилительное (пропорциональное, безынерционное)
	Звенья 1-го порядка
2	Интегрирующее
3	Дифференцирующее (идеальное)
4	Апериодическое звено 1-го порядка (инерционное)
5	Форсирующее звено 1-го порядка
	Звенья 2-го порядка
6	Апериодическое звено 2-го порядка
7	Колебательное	,
8	Консервативное
9	Форсирующее звено 2-го порядка	,
	Дополнительные звенья
10	Дифференцирующее реальное (дифференцирующее звено с замедлением)
11	Изодромное (пропорционально-интегральное звено)
12	Интегрирующее звено с замедлением

3. 2.3. Временные характеристики динамических звеньев

Временные характеристики определяют вид изменения выходного сигнала при подаче на вход звена типового управляющего воздействия. Это позволяет сравнивать свойства звеньев в динамических режимах работы. Временные свойства звена определяются его переходной и импульсной переходной характеристиками.

Рис. 4. Представление ТДЗ

Основной временной функцией, используемой в качестве типового управляющего воздействия, является единичная ступенчатая функция (функция Хэвисайда), заданная условиями

.(7).

Для автоматических систем 1(t) является распространенным видом входного воздействия. Как правило, подобные воздействия сопровождают процессы включения систем и вызывают переходы от одного установившегося состояния к другому.

Переходная функция или характеристика – переходный процесс на выходе линейной системы, возникающий при подаче на вход единичной ступенчатой функции.

Для систем без интеграторов переходная характеристика . Переходная характеристика системы с дифференцирующим звеном (числитель передаточной функции имеет нуль в точке) стремится к нулю. Если система содержит интегрирующие звенья, переходная характеристика бесконечно возрастает.

Предельное значение переходной функции приесть статический коэффициент усиления.

По переходной характеристике можно найти важнейшие показатели качества системы: перерегулирование (overshoot), время переходного процесса (settling time), колебательность, степень затухания (рис. 5). Показатели качества – это свойства, характеризующие работу системы, выраженные в количественной форме.

Перерегулирование  – величина, равная отношению первого максимального отклоненияx_муправляемой величиныx(t)от ее установившегося значенияx()к этому установившемуся значению:

(8)

Качество управления считается удовлетворительным, если перерегулирование не превышает 30 – 40 %.

Рис. 5. К определению показателей качества системы

Степень затухания

(9)

Интенсивность затухания колебаний в системе считается удовлетворительной, если  = 0,75–0,95.

Время переходного процесса (время регулирования) t_п – интервал времени от момента приложения ступенчатого воздействия до момента, после которого отклонения управляемой величиныx(t)от ее нового установившегося значенияx()становятся меньше некоторого заданного числа_п, т. е. до момента, после которого выполняется условиеx(t) - x()_п.

В промышленной автоматике величину _побычно принимают равной 5 % от установившегося значенияx() _п = 0,05 x().

Колебательность N – число переходов управляемой величиныx(t)через ее установившееся значениеx()за время переходного процессаt_п.

Кроме ступенчатого сигнала часто в качестве типового управляющего воздействия используют, так называемую, дельта-функцию Дирака. Дельта-функция Дирака – математическая функция, заданная условиями:

. (10)

Иначе говоря, – это импульс с бесконечно большой амплитудой и бесконечно малым временем длительности, площадь которого равна 1. Для автоматических систем является менее распространенным видом входного воздействия, чем единичная ступенчатая функция.

Из определений функций иочевидна связь между ними:

,. (11)

Единичная ступенчатая функция 1(t) легка для практической реализации с высокой точностью, а дельта-функцию Диракареализовать сложнее. Для теоретического описания систем и их моделирования ее можно грубо представить с помощью двух ступенчатых функций:

, (12)

где N– амплитуда функций;– время, на которое запаздывает вторая ступенчатая функция, при этоми .

Результат воздействия дельта-функции на САУ в виде переходного процесса на выходе ТДЗ или линейной системы называется функцией веса и обозначается как . Поскольку получить дельта-функцию довольно сложно, в качестве нее можно рассматривать короткий импульс достаточно высокого уровня.

Для соответствующих типовых реакций:

,. (13)

Поскольку , в случае, когда входное воздействиепредставляет собой единичный импульсδ(t),и с учетом того, что его изображение по ЛапласуL{δ(t)}=1, получим следующее выражение для изображения функции веса звена:

. (14)

Таким образом, функция веса определяется через передаточную функцию по формуле обратного преобразования Лапласа, т.е. является ее оригиналом.

В случае, когда , учитывая, чтоL{1(t)}=1/s, получаем следующее выражение для изображения переходной характеристики:

.(15)

Следовательно, переходная характеристика звена

.(16)