Асанов М.О., Баранский В.А., Расин В.В. - Дискретная математика. Графы, матроиды, алгоритмы - 2001

Содержание

Предисловие

3

1. Основные понятия теории графов

5

Основные определения

5

Маршруты, связность, циклы и разрезы

9

Ориентированные графы

14

Матрицы, ассоциированные с графом

16

2. Деревья

22

Леса, деревья, остовы

22

Блоки и точки сочленения

25

Число остовов в связном обыкновенном графе

30

3. Обходы графов

34

Эйлеровы графы

34

Гамильтоновы графы

38

4. Матроиды

44

Полумодулярные решетки, условие Жордана--Дедекинда

44

Конечномерные геометрические решетки и матроиды

47

Основные понятия теории матроидов

56

Различные аксиоматизации матроидов

59

Двойственный матроид

67

Жадный алгоритм

70

Изоморфизмы матроидов

72

Пространство циклов бинарного матроида

76

Пространство циклов и пространство разрезов графа

79

Монотонные полумодулярные функции. Индуцированный матроид

83

Трансверсальные матроиды

86

Дизъюнктное объединение и сумма матроидов

93

5. Планарность

102

Укладки графов, планарные графы

102

Формула Эйлера для плоских графов

104

Критерий планарности графа

107

Двойственные графы

120

6. Раскраски

126

Хроматические числа

126

Хроматические многочлены

131

Коэффициенты хроматических многочленов

138

7. Введение в алгоритмы

144

Алгоритмы и их сложность

145

Запись алгоритмов

147

Корневые и бинарные деревья

149

Сортировка массивов

152

8. Поиск в графе

159

Поиск в глубину

159

Алгоритм отыскания блоков и точек сочленения

163

Алгоритм отыскания компонент сильной связности в орграфе

168

Поиск в ширину

173

Алгоритм отыскания эйлеровой цепи в эйлеровом графе

177

9. Задача о минимальном остове

180

10. Пути в сетях

188

Постановка задачи

188

Общий случай. Алгоритм Форда--Беллмана

188

Cлучай неотрицательных весов. Алгоритм Дейкcтры

193

Случай бесконтурной сети

196

Задача о максимальном пути и сетевые графики

201

Задача о maxmin-пути

207

Задача о кратчайших путях между всеми парами вершин

210

11. Задача о максимальном потоке

213

Основные понятия и результаты

213

Алгоритм Форда--Фалкерсона

219

12. Паросочетания в двудольных графах

227

Основные понятия

227

Задача о наибольшем паросочетании. Алгоритм Хопкрофта--Карпа

228

Задача о полном паросочетании. Алгоритм Куна

244

Задача о назначениях. Венгерский алгоритм

249

13. Задача коммивояжера

259

Основные понятия

259

Алгоритм отыскания гамильтоновых циклов

260

Алгоритмы решения задачи коммивояжера с гарантированной оценкой

262

точности

Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ

270

Литература

278

Предметный указатель

282

Предметный указатель

Аксиома Штейница о замене 62

- Хопкрофта--Карпа 233

Аксиомы независимости 60

- Ярника--Прима--Дейкстры 185

Алгоритм Борувки--Краскала 181

- венгерский 251

- Куна 245

- линейный 146

- Флойда 211

- пирамидальной сортировки 154

- Форда--Беллмана 190

- полиномиальный 146

- Форда--Фалкерсона 225

- с возвратом 262

- топологической сортировки 197

- планарный 103

- экспоненциальный 146

- плоский 103

Атом решетки 46

- полный 7

База матроида 57

- - двудольный 8

- множества 57

- полуэйлеров 36

Блок 25

- помеченный 16

- висячий 30

- произвольно вычерчиваемый из

Вектор грани циклический 105

вершины 36

- инциденции 123

- связный 10

Величина потока 213

- эйлеров 34

Вершина висячая 7

Графы гомеоморфные 107

- изолированная 7

Дейкстры 194

- концевая 6

Дерево 22

- насыщенная относительно

- бинарное 150

паросочетания 228

- венгерское 246

- свободная относительно

- глубинное 160

паросочетания 228

- корневое 149

Вес остова 33

- кратчайших путей 196

- ребра 33, 180

- остовное 23

- элемента 70

- поиска 151

Высота корневого дерева 150

- - в ширину 175

Геометрия векторная проективная 53

- растущее 181

- комбинаторная 50

- решений 153

- проективная 53

- сортирующее 154

Грань плоского графа 103

Диаграмма 5

Граф 5

Длина маршрута 9

- (n,m)-граф 6

- ормаршрута 15

- (n,m,k)--граф 10

Дополнение 48

- n-граф 6

Дуга 14

- t-раскрашиваемый 126

- обратная в цепи 217

- t-хроматический 126

- прямая в цепи 217

- Петерсена 107

Жорданова кривая 102

- взвешенный 180

Задача коммивояжера 144

- вполне несвязный 7

- о maxmin-пути 207

- гамильтонов 38

- о кратчайшем пути 144, 188

- дважды помеченный 19

- о максимальном потоке 213

- двойственный 120

- о минимальном остове 180

- двудольный 8

- о наибольшем паросочетании 228

- неразделимый 25

- об остове минимального веса 33

- нулевой 7

- оптимального назначения 144

- обыкновенный 5

Изоморфизм графов 6

- одноэлементный 7

- матроидов 72

- ориентированный 14

Интервал решетки 44

- ориентируемый 15

Инцидентность 6

Источник 213

Неравенство полумодулярности 47

Кобаза матроида 67

Объединение матроидов 96

Компонента связности 10

- - дизъюнктное 93

- сильной связности 169

- подграфов 8

Контур 15

Окружение вершины 7

Коцикл матроида 68

Оператор замыкания 49

Лес 22

Орграф 14

- глубинный 160

- гамильтонов 41

- остовный 23

- орсвязный 15

- - в графе 180

- полугамильтонов 41

- продолжаемый до минимального

- связный 14

остова 180

- сильно связный 15

- растущий 181

- топологически отсортированный

Лист корневого дерева 149

197

- матроида 50

Ориентация графа 20

Маршрут 9

Орлемма о рукопожатиях 16

- замкнутый 9

Ормаршрут 14

Матрица Кирхгофа 18

- замкнутый 14

- инцидентности графа 19

Орцепь 15

- - орграфа 20

- гамильтонова 41

- смежности 16

- простая 15

Матроид 50

Орцикл 15

- бинарный 76

- гамильтонов 41

- векторный над телом 62, 63

Основание орграфа 14

- графический 73

Остов 23

- двойственный 67

- минимальный 180

- дискретный 69

Отец 149

- кографический 73

Отношение покрытия 45

- простой 50, 56

- связности 10

- разрезов 70

Очередь 148

- свободный 69

Паросочетание 87, 227

- связный 94

- максимальное 228

- столбцов 63

- наибольшее 228

- строк 63

- полное 244

- трансверсальный 87

- совершенное 244

- тривиальный 69

Пересечение подграфов 9

- циклов 62

Петля 5

Метод критического пути 203

Пирамида 154

Многочлен характеристический 17

- частичная 155

- хроматический 133

Плоскость проективная дезаргова 55

Множество зависимое 57

Подграф 8

- независимое 57

- остовный 8

- ребер разрезающее 10

- порожденный 8

Мост 10

- пустой 8

Подматроид 62

- светлое относительно

Подмножество замкнутое 49

паросочетания 228

Подпространство матроида 50

- темное относительно паросочетания

Поиск в глубину 159

228

- в графе 159

- циклическое 12

- в ширину 173

Редукция графа 8

Покрытие множества вершинное 89

- - хроматическая 133

Полустепень захода 15

Решетка 44

- исхода 15

- конечномерная геометрическая 47

Порождающее множество матроида

- модулярная 44

58

- полумодулярная 45

Последовательность степеней графа

- с дополнениями 48

39

- с относительными дополнениями 48

Поток в сети 213

Сеть 188

Потомок 149

Система коциклов фундаментальная

Предгеометрия комбинаторная 50

78

Предок 149

- различных представителей 90

Произведение подграфов 136

- разрезов графа фундаментальная 80

Пропускная способность разреза 216

- циклов графа фундаментальная 80

Пространство коциклов бинарного

- - фундаментальная 78

матроида 78

Сложность алгоритма временная 145

- разрезов 79

Смежность вершин 6

- циклов 79

- ребер 6

- - бинарного матроида 78

Стек 148

Путь в сети 188

Степень вершины 6

Раздувание матроида 63

Стоимость ребра 180

Размер задачи 145

Сток 213

Размерность геометрическая 54

Стягивание ребра 119

Разрез 10

Сумма матроидов 94

- в орграфе 215

Сын 149

- минимальный 216

Точка сочленения 25

Ранг графа 24

Трансверсаль 89

- матроида 58

- независимая частичная 91

- множества 59

- частичная 87

Раскраска графа 126

Турнир 42

- - несобственная 141

Укладка графа в пространстве 102

Расстояние между вершинами 188

Уровень вершины в корневом дереве

Ребро ациклическое 12

150

- висячее 7

Условие Жордана--Дедекинда 45

- древесное 159

Функция весовая 33

- кратное 5

- монотонная полумодулярная 83

- обратное 159

- размерности на решетке 46

- поперечное 176

- хроматическая 131

Цепь 9

- M-цепь 233

- гамильтонов 38

- M-чередующаяся 230

- матроида 57

- f-дополняющая 217

Число Стирлинга второго рода 137

- f-ненасыщенная 220

- - первого рода 137

- в сети 217

- древовидности графа 99

- гамильтонова 38

- покрытия матроида 98

- полуэйлерова 36

- упаковки матроида 97

- простая 10

- хроматическое 126

- эйлерова 34

- цикломатическое 24

Цикл 10