Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы каноническими уравнениями

Обозначим == (х₂-x₁,y₂-у₁,z₂-z₁), =(m₁,n₁,р),

= (m₂,n₂,р₂).

1) если прямые совпадают, то все три вектора ,,коллинеарны.

2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора и коллинеарны, а векторим не коллинеарен.

3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов , ,не коллинеарны, и все три вектора компланарны.

4) ecли прямые скрещиваются, то векторы ,,некомпланарны.

Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности, прямых l₁ и l₂ равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов и .

Следовательно,

- необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.

m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂ = 0

- необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

Если прямые l₁ и l₂ пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо (^,) либо (-^,). Следовательно,

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстояниеd от точки M₁(x₁,у₁,z₁) до данной прямой , проходящей через точкуM₀(х₀,у₀,z₀) с направляющим вектором = (m, n, p) определяется так.

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые

Пусть плоскость α проходят через прямые l₁ и l₂, заданные соответственно уравнениями:

, (2)

Обозначим М₂(x₂,y₂,z₂), =(m₁,n₁,р₁), =(m₂,n₂,p₂) и М(х,у,z) произвольная точка плоскости α

Тогда

- уравнение плоскости, проходящей через две прямые.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые l₁ и l₂, заданные уравнениями вида (2), являются скрещивающимися. Тогда расстоянием d между ними называется длина перпендикуляра, проведенного из одно прямой на другую. Заметим, что искомое расстояние равно отрезку перпендикуляра, закаченного между плоскостями α₁ и α₂, где плоскости α₁ и α₂ одновременно параллельны векторам и, и проходят соответственно через прямыеl₁ и l₂

Тогда

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть прямая l и плоскость α заданы соответственно уравнениями

, α: Ax + By + Cz + D = 0.

1) прямаяl лежит в плоскости α, если

Am + Bn + Ср = 0,

Аx₀ + Ву₀ + Cz₀ + D = 0.

2) прямая l параллельна плоскости α, если

Am + Bn + Ср = О,

Аx₀ + Ву₀ + Cz₀ + D ≠ 0.

3) прямая l пересекает плоскость α если

Am + Вn + Ср 0.

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой l и плоскостью α называется угол φ, образованный прямой l и ее проекцией l₁ на плоскость α

Тогда и

.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Парабола

Определение: Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом параболы и некоторой прямой, называемой директрисой параболы.

Уравнение параболы принятo записывать в следующем виде:

y² = 2px , p>0 (1)

• каноническое уравнение параболы.

Свойства параболы непосредственно следуют из свойств уравнения:

1.Абсцисса любой точки параболы неотрицательна

2.Парабола проходит через начало координат.

3.Парабола симметрична относительно оси абсцисс.

4.При неограниченном возрастании абсциссы x ордината у возрастает по абсолютной величине.

Точка F(;0) называется фокусом параболы, прямая - директрисой.

Величина р называется фокальным параметром или просто параметром параболы.

Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2а (а>0), большая, чем расстояние между фокусами.

Для составления уравнение эллипса выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось ОХ

проходила через фокусы F₁ и F₂, а начало координат — точка О находилась в середине отрезка F₁F₂.

Обозначим F₁F₂ = 2с. Тогда F₁(-с,0), F₂(c,0). Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса. Тогда MF₁+ MF₂= 2а, а>с.

Так как , и уравнение принимает вид:

. (2)

Пусть координаты точки М₁(х₁,у₁)удовлетворяют уравнению (2).

Обозначим r₁ = F₁M₁, r₂ = F₂M₂ — фокальные радиусы точек М1 М₂. Тогда , , значит, r₁+r₂=2a.

Теперь по свойствам уравнения (2) исследуем геометрические свойства эллипса.

1. Оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса. Следовательно, эллипс достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Эллипс пересекает координатные оси в точках А₁(-а,0), А₂(а,0), В₁(0,b), В₂(0,-b), называемых вершинами эллипса.

3. Эллипс расположен в прямоугольнике, ограниченном прямыми х=а, у =b.

4. Из уравнений следует, что при возрастании х от 0 до а в первой координатной четверти, у убывает от b до 0.

По полученным свойствам строим эллипс Отрезок А₁А₂ и его длина 2а называются большой осью эллипса, а отрезок B₁B₂ и его длина 2b называются малой осью эллипса. Отрезок ОА₁ с длиной а и отрезок ОВ₁ с длиной b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Длина отрезка F₁F₂=2с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр эллипса.

Еслиа=b, то получаем каноническое уравнение окружности

Уравнения х = acost, у = bsint -

параметрические уравнения эллипса.

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число

Так как с<а, то 0<c<1. Заметим, что у окружности оба фокуса

совпадают, поэтому с = 0 и ε = 0.

.

Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.

Используя понятия эксцентриситета, можно выразить фокальные радиусы произвольной точки M(x,у) эллипса:

r₁=а+εх, r₂=а—εх