Свойства определителей второго и третьего порядков

Будем рассматривать в дальнейшем только определители 3-го порядка. Для определителей 2-го порядка все свойства аналогичны.

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (операция транспонирования), т.е.

.

Действительно,

Δ=а₁b₂с₃+b₁с₂а₃+с₁а₂b₃—с₁b₂а₃—а₁с₂b₃—b₁a₂c₃. (*)

Δ'=а₁b₂с₃+c₁a₂b₃+b₁с₂а₃+с₁b₂а₃+а₁с₂b₃+b₁а₂с₃ . (**)

Сравнивая равенства (*) и (**), получаем, что Δ=Δ'.

2. При перестановке 2-х строк (столбцов) местами определитель меняет знак на противоположный.

Доказательство проводится проверкой.

3. Если определитель имеет 2 одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Действительно, при перестановке двух одинаковых строк, определитель Δ, очевидно не изменится. С другой стороны, по свойству 2 он изменит знак на противоположный. Следовательно, Δ= -Δ, т.е. Δ=О.

4. При умножении любой строки (столбца) определителя Δ на некоторое число λ, определитель умножается на это число, то есть, например,

.

Доказательство следует из того факта, что вычисляя определитель по правилу треугольника, получим, что каждое слагаемое содержит множитель. Вынося этот множитель за скобку, получим в скобке определитель Δ.

5. Если элементы 2-х строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Пусть

Тогда по свойству 4,

т.е. по свойству 3 Δ₁ = 0.

6. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя представляют собой сумму 2-х слагаемых, то данный определитель равен сумме соответствующих определителей.

Пусть

Тогда

=

7. (Основное). Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое число, то величина определителя не изменится.

Итак, например,

Доказательство следует из последовательного свойств 6 и 5.

8. (О разложении определителя по элементам i-й строки или j-го столбца).

Тогда минором элемента a_ij определителя Δ называется определитель M_ij полученный из данного, вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент а_ij.

Имеет место следующее равенство:

Δ=(-1)ⁱ⁺¹a_i1M_i1+(-1)ⁱ⁺²a_i2M_i2+(-1)ⁱ⁺³a_i3M_i3 (*)

(разложение по элементам i-й строки.)

Доказательство. Если i=2, то поменяем местами 2-ю и 1-ю строки. Получаем определитель Δ₁,равный —Δ (свойство 2).

Если i=3, то поменяем вначале 3-ю строку со 2-й, а затем

полученную вторую с первой. Получим определитель Δ₂, равный

Δ(свойство 2). Итак,

Аналогично,

.

Замечание. При доказательстве разложения по элементам i-го столбца, предварительно протранспонируем определитель.

Общая теория кривых второго порядка

Удобно будет рассматривать уравнение кривой второго порядка

в следующем виде:

(1)

Сформулируем признаки, позволяющие узнать тип линии по ее уравнению (1).

Введем некоторые определения.

Группу слагаемых a₁₁x²+2а₂₁xy+а₂₂у² назовем группой старших членов. Группу слагаемых 2а₁₃х+2а₂₃у+а₃₃ назовем линейной частью уравнения (1).

Коэффициенты а₁₁, a₁₂, а₂₂ назовем коэффициентами группы старших членов или старшими коэффициентами, а коэффициенты а₁₃, а₂₃, а₃₃ — коэффициентами линейной части или линейными коэффициентами . Отметим, что коэффициент а₃₃ также называется свободным членом уравнения (1).

Осуществим параллельный перенос системы координат ОХY вточку 0'(х₀,у₀), Тогда, как известно, х=х'+х₀, у=у'+у₀ и в новой системе координат уравнение (1) примет вид:

Обозначим коэффициенты при степенях неизвестных в уравнении (*) следующим образом:

(2)

Тогда уравнение (*) примет вид:

(3)

Вывод: при параллельном переносе системы координат, коэффициенты группы старших членов не изменяются, а коэффициенты линейной части изменяются по формулам (2).

Применим формулы поворота системы ОХУ на угол φ т.е.

х=х'соsφ-y'sinφ;

y=x'sinφ+y'cosφ;

Получим:

Тогда в новой системе координат, уравнение (1) примет вид:

где

, т.е.

a'₁₃=a₁₃cosφ+a₂₃cosφ

a'₂₃=a₂₃cosφ-a₁₃sinφ (4)

a'₃₃=a₃₃

Вывод: старшие коэффициенты а'₁₁, а'₁₂ и а'₂₂ , выражаются только через угол φ старшие коэффициенты а₁₁, а₁₂ и а₂₂. Коэффициенты а'₁₃ и а'₂₃ выражаются только через угол φ и коэффициенты а₁₃, а₂₃. Коэффициенты а'₃₃ и а₃₃ равны.

Для упрощения равенств (4) введем следующие обозначения:

.

Тогда

,

если А0 . Введем угол α, где

,

Если же А = 0, то α = 0 и в этом случае a₁₂=(1/2)(а₁₁—а₂₂).

Введем также угол β, считая

, ,

если С0 . Если же С=0, т.е. а₁₃=а₂₃=0, то β=0 .

Тогда выражения (1.30) перепишутся в виде:

a'₁₁=Азin(2φ+α)+В; а'₁₂=Асоs(2φ+α);

a'₂₂=—Азin(2φ+α)+В; a'₁₃=Csin(φ+β); (5)

a'₂₃= Ссоз(φ+β); а'₃₃=а₃₃.

Отметим, что величины А, В, С и углы α, β не зависят от φ.