МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования «Гомельский

государственный университет

имени Франциска Скорины»

А.Д. Ходалевич

Р.В. Бородич

В.Н. Рыжик

«Аналитическая геометрия »

Тексты лекций

Гомель, 2004

УДК 514 (078)

ББК 22.151 Я73

Х 69

Рецензенты: Семенчук В.Н. – профессор, доктор физико-математических наук кафедра высшей математики учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины».

Рекомендован к изданию научно-методическим советом учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» 24 марта 2004 года, протокол № 7

Ходалевич А.Д.

Х 69 Аналитическая геометрия: Тексты лекций. /А.Д.Ходалевич,

Р.В.Бородич, В.Н. Рыжик. − Гомель: УО «ГГУ им. Ф.Скорины»; 2004 − 65с.

Дается краткое изложение курса лекций по аналитической геометрии для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика»

УДК 514 (078)

ББК 22.151 Я73

Х 69

© А.Д. Ходалевич, Р.В. Бородич, В.Н. Рыжик, 2004

© Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины», 2004

СОДЕРЖАНИЕ

1. Векторы и координаты………………………………….…4

2. Прямая на плоскости………………………………………20

3. Плоскость…………………………………………………...25

4. Прямая в пространстве. Взаимное расположение

прямой и плоскости в пространстве…………………………29

5. Кривые второго порядка…………………………………...33

6. Поверхности второго порядка……………………………..56

Литература………………………………………………….….64

Аналитическая геометрия - это раздел математики, в котором геометрические объекты изучаются с помощью алгебраических мето­дов, в основе которых лежит понятие координат.

Векторы и координаты Понятие вектора

Пусть А – произвольное непустое множество. Декартовым кваратом А называется множество

A² =

Бинарным отношением на А называется любое подмножество множестваA².

Отношением эквивалентности на А называется такое бинарное отношение на А, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) (рефлексивность);

2) если (,b)то (b,)(симметричность);

3) если (,b) то (,c)(транзитивность).

Теорема. Любое отношение эквивалентности на множестве А определяет разбиение этого множества на попарно непересекающиеся классы (классы эквивалентности). Обратно, любое разбиение множества А на попарно непересекающиеся классы определяет отношение эквивалентности на А.

Направленный отрезок – отрезок, у которого указано, какая точка является началом, а какая концом. Обозначается .

Пусть заданы направленные отрезки и, не лежащие на двух различных параллельных прямых, и плоскость, проходящая через точки В иD. Тогда плоскостьразбивает все пространство на два полупространства. Если при этом точкиB и D лежат в одном полупространстве, то говорят, что направленные отрезки иодинаково направлены (обозначается ). В противном случае, они называютсяпротивоположно направленными (обозначается ).

Если направленные отрезки илежат на одной прямой, то они одинаково (противоположно) направлены, если существует такой третий направленный отрезок, который одинаково направлен с каждым из направленных отрезкови(противоположно направлен в точности с одним из направленных отрезковили).

Абсолютной величиной или модулем (длиной) направленного отрезка называется длина этого направленного отрезка и обозначается ||.

Два направленных отрезка иназываютсяравными, если и, при этом пишут=,

Теорема. Отношение равенства направленных отрезков является отношением эквивалентности.

Тогда вектором называется абстрактный объект, совпадающий с некоторым классом эквивалентности.

Таким образом, каждый из равных друг другу направленных отрезков считается представлением (изображением) данного вектора, а неравные направленные отрезки считаются представлением разных векторов. Поэтому в дальнейшем вектор изображается точно так, как и соответствующий ему направленный отрезок.

Векторы иназываютсяколлинеарными, если образующие их направленные отрезки параллельны одной и той же прямой (обозначается ||).

Три и более векторов называются компланарными, если образующие их направленные отрезки параллельны некоторой плоскости.

Нулевым вектором называется вектор, начало которого совпадает с его концом (обозначается ). Направление нулевого вектора не определено.