Скалярное произведение векторов в координатной форме.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы:

= (х₁,у₁,z₁), = (х₂,у₂,z₂). Тогда

∙= x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂.

В частности

Если даны точки А(х₁,у₁,z₁) и В(х₂,у₂,z₂), то, как известно, =(x₂-х₁,y₂-у₁,z₂-z₁) и значит.

-формула расстояния между двумя точками.

Так как , то

и тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

х₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0.

Определители второго и третьего порядков

Определение. Таблица, составленная из чисел, записанных в следующем виде:

называется квадратной матрицей n-го порядка или просто матрицей n-го порядка. Первый индекс i элемента а_ij матрицы А указывает на номер строки, а второй индекс j - на номер столбца, на пересечении которых стоит элемент а_ij.

Пусть дана квадратная матрица А второго порядка:

Определителем (детерминантом) матрицы А второго порядка называется число Δ равное:

Для матрицы А третьего порядка, где

ее определитель Δ есть число, которое вычисляется следующим образом:

Δ = а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₁₃а₂₁а₃₂ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₁₁а₂₃а₃₂ – а₁₂а₂₁а₃₃.

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком "+", а какие со знаком "–", полезно использовать следующее правило треугольников:

Легко проверить, что

=

- разложение определителя по элементам первой строки.

Векторное произведение векторов в координатной форме.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы

= (x₁,y₁,z₁), = (x₂,у₂,z₂). Тогда



Последнее равенство можно записать так:

Итак,

Тогда

Смешанное произведение векторов в координатной форме.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы

= (х₁,у₁,z₁), = (x₂,y₂,z₂) и = (x₃,y₃,z₃). Тогда

Отсюда следует, что векторы ,икомпланарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

=0

Полярные координаты.

Возьмем на плоскости произвольную точку 0, которую назовем полюсом, и ось ОР, задаваемую единичным вектором , которую назовем полярной осью. Тогда положение произвольной точки М плоскости можно определить двумя числами: r -длина отрезка ОМ и φ - угол, который образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении, т.е. при движении против часовой стрелки.

Величины r и φ называются полярными координатами точки М, r-полярный радиус, φ-полярный угол. При этом считаем, что полярные координаты точек плоскости изменяются в следующих пределах: . Таким образом, получаем систему координат, которая называетсяполярной системой координат.

С прямоугольными координатами полярные связаны следующими соотношениями:

х = r cosφ, у = r sinφ.

Так как х² + у² = r², то

Прямоугольные координаты на плоскости.

Пусть дана старая и новая прямоугольные системы координат, соответственно (0,,) и (О',','). Обозначив через φ угол между векторамии'. Тогда

x = x'cosφ - y'sinφ + α,

y = x'sinφ + y'cosφ + β

В частности, если =' и=', то формулы принимают вид

x = х' + α, у = у' + β

- формулу преобразования координат при параллельном переносе системы координат

Если же точки 0 и 0' совпадают, то

x = x'cosφ - y'sinφ,

y = x'sinφ + y'cosφ.

- формулы преобразования координат при повороте системы координат вокруг начала на угол φ