Линейные операции над векторами.

Определение. Суммой + векторов и называется вектор, проведенный из начала к концу , если конец и начало совпадают. Приведенное определение сложения векторов называется правилом треугольника. Векторы и можно складывать, пользуясь правилом параллелограмма.

Если имеется n векторов , то их сумма определяется как вектор.

Определение. Разностью векторов и называется такой вектор =-, что выполняется равенство +=.

Легко показать, что для любого вектора , существует такой единственный вектор , называемый противоположным вектору

что +=. Вектор, противоположный вектору , будем обозначать –.

Определение. Произведением вектора на число λ (λ0) называется вектор =λ, удовлетворяющий следующим условиям:

1) векторы и одинаково направлены, если λ>0, и противоположно направлены, если λ<0;

2) ||=|λ|||.

По определению, произведение произвольного вектора на число 0 есть нулевой вектор, т.е. 0=.

Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными. Они обладают следующими свойствами:

1) сложение векторов коммутативно:

+=+, ,;

2) сложение векторов ассоциативно:

(+)+=+(+),  ,,;

3) +=, ;

4) +(-)=0, ;

5) умножение вектора на число ассоциативно:

α (β ) = (α β),  α, β  R;

6) 1=, ;

7) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к

сложению чисел:

(α+β)=α+β, , α, β  R;

8) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов:

α(+)=α+α,  ,,  α  R;

Множество всех векторов пространства (плоскости), удовлетворяющих свойствам 1) – 8), называется линейным, или векторным пространством, и обозначается ().

Теорема (необходимое и достатаочное условие коллинеарности двух векторов). Для того чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало число λ, удовлетворяющее условию:

= λ.

Проекции.

Назовем осью прямую, на которой указано направление, которое будем называть положительным.

Пусть l - некоторая ось, α - плоскость, непараллельная оси l. Через произвольную точку А пространства проведем плоскость α'||α и обозначим точку пересечения плоскости α' c осью l через А₁. Тогда точка А₁ называется проекцией точки А на ось l относительно плоскости α. В частности, если αl, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.

Пусть теперь задан вектор . Возьмем проекции А₁ и В₁ точек А и В на ось l относительно плоскости α.

Тогда вектор называется проекцией вектора на ось l относительно плоскости α. Величиной проекции вектора на осьl относительно плоскости α называется число, равное:

а) ||, если направление вектора совпадает с направлением оси l;

б) - ||, если направление противоположно направлено оси l.

Обычно из контекста ясно о проекции относительно какой плоскости идет речь. Поэтому величину проекции вектора на осьl будем обозначать Пр_l, а для ортогональной проекции использовать обозначение пр_l.

Пусть α - некоторая плоскость иl – прямая, такая, что l не параллельна α. Через произвольную точку А пространства проведем прямую l₁ || l и обозначим точку пересечения прямой l₁ с плоскостью α через А₁. Точка А₁ называется проекцией точки А на плоскость α относительно прямой l.

Если прямая lα, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.

Определение. Углом между двумя векторами, или между осями, или между вектором и осью называется наименьший угол α, на который надо повернуть один из векторов или одну из осей до совпадения по направлению с другим вектором или осью.

Из определения следует, что 0απ. Угол между векторами или между осями, или между вектором и осью будем обозначать соответственно: (), (), ().

Теорема. Проекция вектора на ось обладает следуицики свойствами:

1) ;

2)

3) .