Линии параболического типа

Пусть КВП задана уравнением вида (1) и является кривой

параболического типа, т.е. I₂=О. Тогда I₁О. Действительно,

если I₁=а₁₁+a₂₂=О, то I₁²=а₁₁²+а₂₂²+2a₁₁a₂₂=О, т.е.

(*)

Так как I₂=a₁₁a₂₂—а₁₂²=О, то из (*) следует, что -(a₁₁²/2) -(а₂₂²/2)=а₁₂².. Значит, a₁₁=a₂₂=a₁₂=0 – противоречие с тем, что уравнение (1) — уравнение кривой второго порядка.

Заметим, что если в уравнении (1) а₁₂О, то путем поворота системы координат 0ХУ можно придти к уравнению вида (14)

Так как I₁=а'₁₁+а₂₂О, I₂=a'₁₁а'₂₂=О, то один из коэффициентов a'₁₁ и а'₂₂ равен нулю, а другой не равен нулю.

Будем считать, что а'₁₁=О, а'₂₂0 (случай а'₁₁О, a'₂₂=0

рассматривается аналогично). Тогда I₁=a'₂₂ и уравнение (14)

можно записать так:

(25)

Осуществим теперь параллельный перенос:

, т.е.

. (26)

Тогда x"=x' и у"=у'+а'₂₃/I₁. Значит, в новой системе координат

О"Х"У" уравнение КВП примет вид:

(27)

где

Теорема. Пусть уравнение (1) — есть уравнение параболического типа. Тогда при I₃0 это уравнение параболы, а при I₃=0 — это уравнение либо пары параллельных действительных прямых, либо пары мнимых параллельных прямых.

Доказательство. Итак, для уравнения (1)

(28)

Так как I₁О, то при I₃0 следует, что а"₁₃О, а при I₃=0 получаем, что а"₁₃=О. Тогда уравнение (27) можно записать так

при I₃О,(29)

при I₃=О, (30)

Очевидно, что уравнение (29) — уравнение параболы. Чтобы

оно стало каноническим, достаточно осуществить параллельный перенос системы координат 0"Х"У":

y"=Y;

и обозначить – а"₁₃/I₁=р. Тогда в системе координат ОХУ получаем уравнение

У² = 2рХ.

Уравнение (30) можно записать так:

(31)

Тогда, если a"₃₃/I₁<0, то из (31) получаем

– пара параллельных прямых: и

Если же а"₃₃/I₁>0, то уравнению (31) не удовлетворяют

координаты ни одной точки плоскости, т.е. геометрический образ является мнимым. Поэтому и говорят, что в атом случае получаем пару мнимых параллельных прямых. Теорема доказана.

Поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка

Определение. Поверхностью второго порядка (ПВП) называется множество всех точек пространства, которые в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению:

(1)

Теорема. Для любой поверхности второго порядка существует прямоугольная система координат OXYZ, в которой уравнение(1) имеет один из следующих 17 видов:

1) эллипсоид:

2) мнимый эллипсоид:

+

3) однополостный гиперболоид:

4) двуполостный гиперболоид:

5) конус:

6) мнимый конус:

7) эллиптический параболоид: z=ах²+by² (а,b >О);

8) гиперболический параболоид: z= - ax²+by² (а,b>0);

9) эллиптический цилиндр:

10) мнимый эллиптический цилиндр:

11) гиперболический цилиндр:

12) параболический цилиндр: у²=2рх;

13) пара пересекающихся плоскостей:

14) пара мнимых пересекающихся плоскостей:

15) пара параллельных плоскостей: у²=а²(а0)

16) пара мнимых параллельных плоскостей: у²+а²=0 (а0);

17) пара совпадающих плоскостей: у²=0.

Уравнения 1) - 17) называются каноническими уравнениями поверхностей второго порядка .

Выделим некоторые общие типы поверхностей второго порядка.