методичка МО часть 1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

существования решения

двойственной ей задачи (4.2). На решениях

значения целевой функций задач (4.1), (4.2) равны:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.03.2016

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

5.		z x1				x2				x3				x4			max
x 2x						2	x x							4	5,
		1				2				3				4
x x			2	x				2x				4	1,
1			2			3						4
x		0,				i 1, 4
i
7.		z 2x1					x2				x3				x4 max
x x			2	x					x		4	1,
1			2				3				4
x 6x						2	x				2x				4	4,
		1				2				3					4
x		0,				i 1, 4
i
9.		z x1				x2				x3				x6			max
x		x		2x					x			6	4,
1			3					5				6
x	2	2x			x				6	5,
	2			5					6

x3 2x5 x6 7,

x3 x4 4x5 4x6 3,

x	0,	i 1, 6
i

11. z 3x1							x2 2x3 max
2x 2x			x					7,
1		2		3
x 3x				2,
1		3
4x x	2	2x						4,
1	2			3
x 0,			i 1, 3
i
13. z x1				2x2 x3					x4 max
2x1 3x2 x3 x4 3,
x1 2x2 x4 3,
3x1 x2 x3 8,

xi 0,			i			1, 4
15. z 2x1 x2 x3									max
x1 x2 2x3 9,
x2 x3 9,
x1 x2	x3 10,

xi 0,			i		1, 3

6.	z x1 x2							x3			2x4	max
5x		x		2	x	2x				4	1,
	1			2	3					4
6x x				2	x	x			4	2,
	1			2	3				4
x	0,				i 1, 4
i
8. z 2x1 x2 x3 x4												max
x	3x			2	2x			x		4	1,
1				2		3				4
x	x		2	3x		2x				4	2,
1			2		3					4
x	0,				i 1, 4
i
10.		z x1 3x2							x3 x4			max
6x		x		2	2x			x		4	0,
	1			2		3				4
x	2x			2	2x		4	1,
1				2			4
x	0,				i 1, 4
i

12.	z 8x1						5x2					x3				max
2x	x		2	2x					10,
1			2				3
x x		2	x				5,
1		2				3
4x	x		2	2x					1,
1			2				3
x 0,					i 1, 3
i
14.
z 1.5x							2x				2	3x				2x	4	max
						1					2				3		4
3x 4x				2		3x				x			4		3,
1				2			3						4
2x x					2	x				2x				4	1,
	1				2		3							4
xi 0,					i			1, 4

16. z x1 3x2 x3 max x1 2x2 x3 6,

4x1 2x2 x3 12, x1 3x2 2x3 6,


xi 0,	i	1, 3

17.		z 2x1						3x2							max
2x		x		2	5,
	1			2
x		3x				3	3,
	1					3
x	x		2	8,
1			2
x	0,					i 1, 2
i
19.		z x1 2x2												3x3			4x4 max
x x			2	x				x				4		2,
1			2				3					4
x 14x					2		10x						4	10x			4	24,
1					2								4				4
x	0,					i 1, 4
i
21.		z x1 5x2												x3 x4 max
x 3x				2	3x						x				4	3,
1				2				3							4
2x 3x							x			4	4,
	1				3					4

xi	0,					i			1, 4
23.		z 2x1						x2						x3 2x4 max
x	2x			2	x					3x					4	3,
1				2				3							4
2x x				2	x					x				4	4,
	1			2				3						4
x	0,					i 1, 4
i
25. z 2x1								2x2 x3 x4 max
x	x		2	x				x				4		2,
1			2				3					4
x	2x			2	x					3x					4	3,
1				2				3							4
x	0,					i 1, 4
i

18.		z x1									4x2						max
x	3x			2				x			3		3,
1				2							3
x	x		3		10,
1			3
3x		x		2				9,
1				2
x		x				2			4,
	1					2
x	0,								i 1, 2
i
20.		z x1								4x2					3x3					10x4		max
x x			2		x						x			4	0,
1			2							3				4
x 14 x							2		10x						10x					4	11,
1							2							3						4
x	0,								i 1, 4
i
22.		z 2x1									x2				3x3					x4 max
x x				2x							4			1,
1		3									4
4x 2x								2		x			3x					4		2,
	1							2					3					4

xi	0,								i			1, 4
24.		z x1								x2				x3					x4 max
x 2x									2	x				x			4		5,
	1								2				3				4
x x			2		2x						3		5x			4		4,
1			2								3					4
x	0,								i 1, 4
i
26. z x1										x2				2x3 x4 min
x x						2			x				4x				4		1,
	1					2					3						4
2x x					2			x			3		x		4	3,
	1				2						3				4

xi	0,								i			1, 4

Лабораторная работа 4

Теория двойственности в линейном программировании

Вопросы:

1. Определение двойственной задачи к задаче линейного программирования (ЛП) в каноническом виде.

2.Определение двойственной задачи к задаче ЛП в нормальном виде.

3.Шесть соотношений двойственности.

Все множество задач линейного программирования можно разбить на пары взаимодвойственных задач.

Для канонической формы:

x max,

Ax b,

x 0

;

min,

y c .

T b

Для нормальной формы:

x max,

Ax b,

x 0

;

y min,

y 0 .

T b

y c,

Для общей формы:

z =

с(1) x(1)

c( 2) x( 2) max

A A

(1)

b ,

(1)

x( 2)

A A

(1)

x 0 .

( 2)

(1)

( 2)

y( 2)

min

T = b(1) y(1)

b( 2)

(1)

, y

A A

(1)

A A

(1)

( 2)

12 22

y( 2)

y,b R

x(1)

y( 2)

c( 2) , x( 2)

где x, c R

,c(1)

n l

m S

A (S l),

(1)

( 2)

A21 (m S) l),

A22 (m S) (n l) – матрицы.

(4.1)

(4.2)

(n l)) ,

Связь между любой парой взаимодействующих задач раскрывается следующими соотношениями двойственности.

1.Теорема существования. Для существования задачи линейного программирования необходимо и достаточно, чтобы не были пусты множества её прямых и двойственных планов.

2.Теорема двойственности. Для существования решения прямой задачи линейного программирования (4.1) необходимо и достаточно

	x	0		y	0
c	x		b	y

(4.3)

3. Основное неравенство. На каждой паре из прямого x и двойственного y планов выполняется неравенство:

c x b

(4.4)

4. Достаточное условие несовместности ограничений. Если вдоль
некоторой последовательности yk	{xk } ,	k=1, 2… двойственных

(прямых) планов двойственная (прямая) целевая функция неограниченно убывает (возрастает):

b yk	k	), k ,	(4.5)
	(c x

то задача (4.1) (задача (4.2)) не имеет планов.

5. Достаточное условие оптимальности. Если на некоторых прямом

двойственном	y	планах выполняется равенство:
двойственном	y	планах выполняется равенство:
		c	x		y
		c	x	b	y

x		и

(4.6)

то x

– решение задач (4.1) и (4.2).

, y

задач (4.1),

(4.2)

6. Условия дополняющей нежесткости. Планы

тогда и только тогда оптимальны, когда

(4.7)

0 /

( A y

c) 0,

0 /

( Ax

b) 0.

Из равенств (4.7) и ограничений задач (4.1), (4.2) следует:

(4.2)

(j-е

а)

если

xi 0

( y j 0) ,

то i-е ограничение

задачи

ограничение задачи (4.1)) активно на плане y0

(на плане x0 );

б) если j-е ограничение прямой задачи (i-е ограничение двойственной

задачи) пассивно на плане

(на плане y

), то

y j

0 (xi 0)

1 i l, m S

j m.

Соотношения двойственности позволяют:

1.Установить разрешимость задач.

2.Проверить оптимальность плана этой задачи по свойствам решения двойственной.

3.По оптимальному плану одной задачи найти оптимальный план двойственной.

Пример. Проверить является ли оптимальным план

для задачи:

z2x1 x2 3x3 x4 max x1 x2 x3 x4 1,

		x			5x						2				x						3		x								4			3,
		1									2										3										4
		6x						2x										2			x								4		1,
						1												2											4
		x			0,											x	2			0,															x		3	0,			x	4	0
		1															2																				3					4
Решение																				x							планом задачи (4.8):
1. Проверим, является ли																				x			0				планом задачи (4.8):
																							0
x	0	0, x	0				1			0,												x			0									4			0,		x	0	0,
x		0, x								0,												x															0,		x		0,

1			2				3																		3									3						4
							3																											3
		1 0				1		1					1								4				1 0 1,
		1 0				1		3					1								3				1 0 1,
								3													3
		1 0				5			1					1								4				1 0 3,
		1 0				5			3					1								3				1 0 3,
									3													3
		6 0 2														1		1 0																		2		1
		6 0 2														3		1 0																		3		1
																3																				3
2. Приводим задачу (4.8) к виду (4.1):
		z 2x				x										3x												x								max
					1							2											3											4
		x			x				2			x							3			x								4			1,
			1						2										3											4
		x			5x							2				x						3		x								4			3,
			1									2										3										4
		6x				2x										2	x							4				x							5		1,
					1											2								4											5
		x		i	0;											i 1,5
				i
3. Строим задачу двойственную к (4.11):
		T y1							3y2													y3											min
		y1 y2 6 y3 2,
		y1 5 y2 2 y3 1,
		y1 y2								3,
		y1 y2 y3 1,																																y3 0.

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

4. Предположим, что	x	0	оптимальный план задачи (4.11), тогда из
		0

соотношения 1 следует, что у задачи (4.12) есть планы, более того

существует	y	0						–				оптимальный																				план					для					(4.12)			(соотношение 2). По
		0
соотношению 6:												x				( A y											c) 0.
														0 /							/			0
Откуда из первого равенства соотношения 6 и из (4.9) следует, что
											y						0			5y							0	2 y			0	1,
																	0										0				0
												y				1											2				3
												y	0		y							0	3.
													0									0
												1										2
Так как на x0					третье ограничение задачи (4.11)																																							пассивно (см.10), то из
второго равенства соотношения 6:																																		y3		0 .
	y										0	5 y									0		1																			7			2
											0										0
										1											2
Из системы										1											2								находим									y1					,	y2	.
					y					y								3																					0			3		0	3
					y			0		y					0			3																								3			3
								0							0
							1								2
5. Проверяем является ли вектор																															y						7	,		2	,
5. Проверяем является ли вектор																															y		0					,			,	0 планом задачи (4.12):
																																	0
																																					3			3
	1				7				1						2				6 0 3 2,
	1				3				1						3				6 0 3 2,
					3										3
	1				7				1						2				1 0										5	1,
	1				3				1						3				1 0										3	1,
	y				3										3														3
	y		0			0,
			0
			3																														y			– план задачи (4.12).
так как все условия выполняются,																																	y		0	– план задачи (4.12).
																																			0
6. Вычисляем на										x		и				y					значение целевых функций задач (4.8) и (4.12):
											0								0
	с			x		0				2 0 1															1			3			4		1 0						13			,
		/				0
																										3					3									3
	b				y		0			1						7							3				2		1 0						13		.
		/					0
																3											3								3
Так как с/ x0 = b/ y0										и			x0					, y 0						планы своих задач, то по соотношению (4.5) они
будут решениями задач (4.8), (4.12).
Задание					1.							Определить,																				является										ли		вектор		x	0	решением
																																															0

соответствующей задачи.

Задание 2. Используя теорию двойственности, доказать оптимальность задачи минимизации (или максимизации) из лабораторной работы 1.

1.	x		0	= (2, 2)
			0
z 8x						5x										2		min
				1												2
4x			x		2			6,
	1				2
9x		8x						2	157,
1								2
3x				11x									2				16,
			1										2
x	0,								x		2			0
1											2
3.	x		0	= (5, 6)
			0
z x					5x									2				max
				1										2
3x			x			2			9,
	1					2
2x			3x						2		50,
		1							2
x				4x						2			19,
			1							2
x		0,							x			2					0
1												2
5.	x		0	= (10, 4)
			0
z x1 8x2																		min
3x1 14 x2																		78,
5x1 6x2											26,
x1 4x2									26,
x1		0,							x2								0
7.	x		0	= (16, 9)
			0
z 5x								7x										2	min
				1														2
3x				14 x											2			78,
			1												2
5x			6x						2		26,
	1								2
x		4x					2		26,
1							2
x		0,							x			2					0
1												2

2.	x		0	= (4, 9)
			0
z 3x						x					2			min
					1						2
4x					5x					2			29,
			1							2
3x		x				2	14,
1						2
5x		2x					2		38,
1							2
x	0,							x		2			0
1										2
4.	x		0	= (3, 3)
			0
z 7x							x						2	min
						1							2
11x				3x					2			24,
			1						2
9x			4x					2		110,
	1							2
2x					7x							2		15,
			1									2
x		0,							x		2			0
1											2
6.	x		0	= (7, 5)
			0
z x1 9x2														min
6x1 5x2										17,
x1 2x2								34,
4x1 9x2														17,
x1		0,							x2					0
8.	x		0	= (8, 5)
			0
z x1 7x2														min
x1 4x2								53,
x1 x2 3,
7x1 3x2										71,
x1		0,							x2					0

9. x	0	= (5, 6)
	0
z 6x				7x							2	min
			1								2
3x	x			2	9,
1				2
2x	3x				2		50,
1					2
x		4x				2		19,
1						2
x 0,						x		2		0
1								2
11.	x	0	= (2, 2)
		0
z x			x				2		min
		1					2
4x	x			2	6,
1				2
9x	8x				2	157,
1					2
3x			11x						2		16,
	1								2
x 0,						x		2		0
1								2
13.	x	0	= (4, 4)
		0
z 4x1 3x2												max
2x1 x2					4,
x1 3x2					37,
4x1 9x2										20,
x1 0,						x2				0
15. x0			= (3, 3)
z 9x1 2x2												min
11x1 3x2								24,
9x1 4x2							110,
2x1 7x2										15,
x1 0,						x2				0

10.	x	0	= (7, 10)
		0

z 7x								2x											2	min
						1													2
x				x				2					3,
		1						2
5x			3x						2					97,
	1								2
x	7x						2			77,
1							2
x		0,										x			2		0
1															2
12.		x		0	= (6, 3)
				0
z 5x						1		x									2		min
						1											2
10 x			1	x						2				57,
			1							2
2x		1	3x								2				53,
		1									2
6x		1	7x								2				15,
		1									2
x	1	0,											x			2		0
	1															2
14.		x		0	= (6, 4)
				0
z 3x1 2x2																				min
4x1 5x2																	29,
3x1 x2										14,
5x1 2x2														38,
x1		0,										x2					0
16. x0					= (2, 6)
z 5x1 7x2																				min
3x1					14 x2														78,
5x1 6x2														26,
x1 4x2										26,
x1		0,										x2					0

17.	x	0	= (13, 8)
		0
z 4x						3x								2		min
				1										2
2x	x				2		4,
1					2
x 3x					2		37,
1					2
4x			9x							2			20,
		1								2
x 0,								x		2			0
1										2
19. x0			= (7, 5)
z 5x					3x								2		min
		1											2
6x	5x					2		17,
1						2
x 2x				2		34,
1				2
4x		9x							2			17,
	1								2
x 0,							x		2			0
1									2
21.	x	0	= (5, 6)
		0
z x				5x								2			min
		1										2
3x	x				2		9,
1					2
2x	3x						2		50,
1							2
x		4x						2			19,
	1							2
x 0,								x		2			0
1										2
23.	x	0	= (10, 5)
		0
z 7x						x						2			min
				1								2
11x		3x						2			24,
	1							2
9x	4x						2		110,
1							2
2x			7x								2		15,
		1									2
x 0,								x		2			0
1										2

18.		x	0	= (5, 12)
			0
z 9x								2x							2	min
					1										2
x	4x						2		53,
1							2
x	x			2			3,
1				2
7x		3x							2		71,
	1								2
x	0,								x			2		0
1												2
20. x0				= (9, 13)
z 3x						x						2		min
			1									2
4x			5x								2		29,
		1									2
3x	x				2			14,
1					2
5x	2x							2		38,
1								2
x 0,									x		2		0
1											2
22.		x	0	= (						2			,		2	)
22.		x		= (						3			,		3	)
										3					3
z x					3x								2		max
			1										2
x	x			2			1,
1				2
2x		x					2		2,
	1						2
x	x			2			0,
1				2
x	0,								x			2		0
1												2
24.		x	0	= (13, 8)
			0
z 6x								x					2		max
					1								2
3x		x				2			9,
1						2
2x		3x							2		50,
	1								2
x			4x							2		19,
	1									2
x	0,								x			2		0
1												2

25.	x	0	= (13, 9)
		0
z 5x x								2	max
			1					2
10 x		x		2		57,
	1			2
2x	3x				2	53,
1					2
6x	7x				2	15,
1					2
x		0,				x	2		0
1							2

26.		x	0	= (16, 9)
			0
z 5x					7x					2	max
				1						2
3x				14 x					2	78,
		1							2
5x		6x				2	26,
1						2
x	4x				2	26,
1					2
x	0,						x	2	0
1								2

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.03.2015267.78 Кб73Метод рек.doc
#
18.08.2019145.92 Кб2Метод.указ. по КР.doc
#
22.11.2019186.37 Кб2Методика факторного анализа.doc
#
31.08.2019538.62 Кб12Методические указания по физ-ре.doc
#
20.09.2019156.67 Кб2методические указания-КР.doc
#
09.03.20161.3 Mб46методичка МО часть 1.pdf
#
08.12.2018311.3 Кб4методичка 5 курс.doc
#
25.03.2015902.59 Кб51Методичка Pascal 2005 Часть1.pdf
#
25.03.2015841.24 Кб28Методичка Pascal 2005 Часть2.pdf
#
09.11.2018342.02 Кб2Методичка Гагуа Ист Бел.doc
#
13.11.2019622.08 Кб40Методичка для псих-в.doc