Оптимизация реакторного узла по экономическим критериям

Примеры решений задач

Задача №1

В проточном реакторе идеального вытеснения проводят реакцию:

А В (r = k₁[А])

Стоимость рецикла непрореагировавшего вещества А-S_рц(руб/кмол); Цена веществаА- Ц_а(руб/кмол); Стоимость амортизации реактора: а₁ + а₂V, где V - объем реактора, м³. Цена продуктаВ- Ц_в (руб/кмол). Критерий оптимизации - доход, полученный от производства веществаВпри постоянном начальном потоке реагентаА(F_a,0 = const).

Найти оптимальную степень конверсии x_A.

Решение

Доход (Д)от производства веществаBравен разнице между выручкой от продажи веществаBи затратами на его производство(З). Обозначив мольную производительность по продуктуВкакF_Взапишем уравнение для вычисленияД:

Д = F_ВЦ_в- З

Затраты на производство продукта В складываются из затрат на сырье, на рецикл вещества А и на амортизацию оборудования. Составим материальный баланс реакторного узла:

Начальный поток реагента А на вход в реактор: F_a,0

Поток реагента А на выходе из реактора (возвращаемый на рецикл): F_a= F_a,0 (1 - Х_А)

Поток продукта В на выходе из реактора: F_В= F_a,0 Х_А

С учетом материального баланса запишем функцию дохода:

Д = F_ВЦ_в - (F_ВЦ_А + F_a,0 (1- X_А)S_рц + a₁ + a₂V) =

= F_a,0Х_АЦ_в - (F_a,0Х_АЦ_А + F_a,0 (1-Х_А)S_рц + a₁ + a₂V)

Используя характеристическое уравнение реактора идеального вытеснения (dV = F_a,0dХ_А/r) и кинетическое уравнение реакции найдем выражение для объема реактора:

Подставим полученное выражение в уравнение функции дохода:

Д = F_a,0 Х_АЦ_в- (F_a,0 Х_АЦ_А + F_a,0 (1 - Х_А)S_рц + a₁ - a₂F_a,0ln(1 - Х_А)/ k₁[А]₀)

Для определения оптимальной степени конверсии продифференцируем полученную функцию дохода по Х_Аи приравняем к нулю:

dД/dХ_А= F_a,0 (Ц_в- Ц_А +S_рц) - a₂F_a,0/(k₁[А]₀(1 - Х_А)) = 0

Откуда находим выражение для оптимальной степени конверсии:

Х_{А, опт}= 1 - a₂/(k₁[А]₀(Ц_в- Ц_А +S_рц))

Задача №2

Продукт Bполучают по реакции:

A –¹B –²C

в реакторе идеального вытеснения объемом 3 м³. Известно, чтоk₁ = 0,1 час^-1иk₂/k₁ = 2. Цены на вещества составляют: Ц_А= 20 $/кмоль, Ц_С = 7 $/кмоль. Стоимость рецикла веществаА: S_РЦ= 3 $/кмоль. Начальная концентрация веществаА:С_А,0=2 моль/л.

Найти оптимальную степень конверсии Аи производительность установки поВ.

Решение

Оптимальными условиями считаем такие, которые обеспечивают наименьшую себестоимость продукта В (S_В). Для получения функции себестоимости составим баланс затрат (З) на производство продукта В.

С одной стороны:

З = F_вS_В

С другой - затраты складываются из затрат на сырье (вещество А) и затрат на рецикл непрореагировавшего веществаАза вычетом средств, получаемых от продажи второго продуктаС:

З = F_a,0 Х_АЦ_А+ F_a,0 (1 - Х_А)S_РЦ- F_СЦ_С

Приравняв правые части двух выражений для затрат и выразив С_В, получим:

S_В= (F_a,0 Х_АЦ_А+ F_a,0 (1 - Х_А)S_РЦ- F_СЦ_С)/F_в

Учтем соотношения материального баланса для данной реакции:

F_в= F_a,0Х_АФ_В

F_С = F_a,0Х_А (1 - Ф_В)

Выражение себестоимости принимает следующий вид:

S_В= Ц_А/Ф_В+ (1 - Х_А)S_РЦ/(Х_АФ_В) - (1 - Ф_В)Ц_С/Ф_В

Запишем выражение для Ф_Вдля заданной реакции в реакторе идеального вытеснения:

которое при подстановке значения отношения констант скоростей дает:

Ф_В = 1 - Х_А

Для определения оптимальной степени конверсии рассчитаем значения себестоимости для интервала значений Х_Аи сведем в таблицу:

ХА	ФВ	ЦА/ФВ $/кмоль	(1 - ХА)SРЦ/(ХАФВ) $/кмоль	(1 - ФВ)ЦС/ФВ $/кмоль	SВ $/кмоль
0,1	0,9	22,22	30,00	0,78	51,44
0,15	0,85	23,53	20,00	1,23	42,29
0,2	0,8	25,00	15,00	1,75	38,25
0,25	0,75	26,67	12,00	2,33	36,33
0,28	0,72	27,78	10,71	2,72	35,77
0,3	0,7	28,57	10,00	3,00	35,57
0,32	0,68	29,41	9,38	3,29	35,49
0,34	0,66	30,30	8,820	3,61	35,52
0,36	0,64	31,25	8,33	3,93	35,64

Оптимальная степень конверсии равна 0,32. При этом: F_a,0 = -VkC_a,0/ln(1 - X_a) = 1,56 кмол/час; производительность по продукту F_в = F_a,0X_aФ_в = 0,34 кмол/час

Задача №3

Реакция:

А –^k B (r = kС_А)

проводится в проточном реакторе идеального смешения при X_A= 0,98. Производительность установки 40 моль/час по продукту В, стоимости веществ: Ц_а= 1000 руб/моль, Ц_в = 1320 руб/моль; эксплуатационные расходы составляют 20000 руб/час. В этом режиме установка убыточна.

Как изменить условия процесса (F_A,0 и X_A), чтобы обеспечить максимально возможный доход?

Решение

Доход (Д)от производства веществаBравен разнице между выручкой от продажи веществаBи затратами на его производство(З). Обозначив мольную производительность по продуктуВкакF_Взапишем уравнение для вычисленияД:

Д = F_ВЦ_в- З

Затраты на производство продукта Вскладываются из затрат на сырье (F_a,0Ц_а) и эксплуатационных расходов (20000руб/час). Следовательно:

Д = F_ВЦ_в- З = F_ВЦ_в- F_a,0Ц_а- 20000

или с учетом мольного баланса:

Д = F_a,0X_AЦ_в- F_a,0Ц_а- 20000

Реакция протекает в проточном реакторе полного смешения, поэтому варьируемые параметры (F_A,0 и X_A) процесса связаны между собой соответствующим характеристическим уравнением:

V = F_a,0X_A/r = F_a,0X_A/(kС_А,0(1 - X_A))

Выразим из последнего уравнения F_a,0:

F_a,0 = VkС_А,0(1 - X_A)/X_A

Подставим выражение для F_a,0в функцию дохода:

Д = VkС_А,0(1 - X_A)Ц_в- VkС_А,0Ц_а(1 - X_A)/X_A- 20000

Согласно условиям задачи варьируемыми параметрами являются F_A,0 и X_A, следовательно остальные должны оставаться неизменными, т.е. произведение VkС_А,0 является величиной постоянной.

Для нахождения максимума дохода продифференцируем полученную функцию по X_A и приравняем производную к нулю:

dД/dX_A = -VkС_А,0Ц_в+ VkС_А,0Ц_а/(X_A)² = 0

Вычислим значение X_A:

X_A = (Ц_а/Ц_в)^0,5=(1000/1320)^0,5= 0,87

Найдем значение F_a,0, соответствующее оптимальному значениюX_A:

F_a,0 = VkС_А,0(1 - X_A)/X_A = VkС_А,0(1 - 0,87)/0,87 = 0,149VkС_А,0

Используя характеристическое уравнение и учитывая, что F_В= F_a,0Х_А= 40, вычислим значение VkС_А,0 при заданных в условии значениях F_в и Х_А:

VkС_А,0 = F_a,0Х_А/(1 - X_A) = 40/(1 - 0,98) = 2000

Следовательно: F_a,0 = 0,1492000 = 298 моль/ч.

Таким образом, максимальный доход будет обеспечен при F_a,0 = 298 моль/ч и Х_А= 0,87 и составит 24223,2 руб/ч.