Lenskiy_2

11

соответствующая ему составляющая переходного процесса xвых(t) увеличивается до бесконечности. Если же корень sk

отрицателен, то xвых(t) стремится к нулю (рис. 3.2,а).

В случае, когда характеристическое уравнение кроме вещественных имеет сопряженные комплексные корни

sk,k+1=αk ± iβk , то каждой паре таких корней в решении (3-3) соответствуют составляющие вида

, (3-5)

где А и φ – новые постоянные интегрирования. В этом случае составляющая переходного процесса (3-5) имеет колебательный характер. Изменение амплитуды колебательной составляющей во времени зависит от знака вещественной части αk комплексных корней. Если αk =0, то амплитуда колебаний постоянна, т.е. имеет место гармонический колебательный переходный процесс. При αk > 0 амплитуда колебаний с течением возрастает до бесконечности. При αk < 0 амплитуда колебаний уменьшается и стремится к нулю, (рис. 3.2, б).

Рис. 3.2. График зависимости составляющей xk(t) от времени: а – корни характеристического уравнения вещественные; б – корни характеристического уравнения комплексные.

12

Система будет устойчивой только в том случае, когда все слагаемые в решении (3-3) со временем стремятся к нулю. Окончательно условие устойчивости систем можно сформулировать следующим образом. Для устойчивости системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, необходимо и достаточно, чтобы все вещественные корни ее характеристического уравнения были отрицательными, а все комплексные корни имели отрицательную вещественную часть. Если хотя бы один из вещественных корней характеристического уравнения системы положителен или пара сопряженных комплексных корней имеет положительную вещественную часть, то система неустойчива. Если хотя бы один из вещественных корней характеристического уравнения системы равен нулю или равна нулю вещественная часть пары комплексных корней, то система находится на грани устойчивости. Характер переходного процесса системы определяется типом корней характеристического уравнения. Если все корни характеристического уравнения вещественные, то переходный процесс в такой системе будет апериодическим. При наличии комплексных корней переходный процесс в системе будет колебательным. Некоторые примеры связи расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости с устойчивостью системы и видом кривой переходного процесса показаны на рис. 3.3.

Исследование устойчивости систем по знакам корней характеристического уравнения предполагает вычисление этих корней. Корни уравнений 1-й и 2-й степени находятся просто, корни уравнений 3-й и 4-й степени вычисляют по довольно сложным формулам. Корни уравнений выше 4-й степени определяются приближенно вследствие громоздкости вычислений. Эти соображения потребовали разработки специальных правил – критериев устойчивости

– которые позволяют исследовать систему на устойчивость

13

по коэффициентам характеристического уравнения, т.е. минуя вычисление корней.

iβ iβ iβ

Рис. 3.3. Связь расположения корней характеристического уравнения системы на комплексной плоскости с видом кривой переходного процесса.

14

С математической точки зрения критерии устойчивости представляют собой необходимые и достаточные условия, при соблюдении которых все корни характеристического уравнения системы имеют отрицательную вещественную часть.

Система регулирования может быть устойчива, если в соответствующем ей полном характеристическом уравнении все постоянные коэффициенты имеют одинаковый знак, например, все положительны (в случае отрицательности всех коэффициентов достаточно умножить уравнение на –1). Положительность всех коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости лишь для систем 1-го и 2-го порядков, что подтверждается нахождением корней этих уравнений. Для устойчивости систем 3-го и более высокого порядка положительность всех коэффициентов характеристического уравнения является необходимым, но не достаточным условием устойчивости системы. Для таких систем на коэффициенты характеристического уравнения должны быть наложены дополнительные ограничения, которые устанавливаются с помощью критериев устойчивости.

Рассмотрим алгебраический критерий устойчивости, предложенный в 1895 году швейцарским математиком Гурвицем. Он формулирует условие устойчивости в виде определителей.

Для нахождений условий устойчивости системы n-го порядка по коэффициентам характеристического уравнения (3-4) сначала составляют матрицу, действуя в следующем порядке (рис. 3.4). По главной диагонали матрицы последовательно записывают коэффициенты характеристического уравнения с а1 до аn. Затем заполняют коэффициентами столбцы матрицы, начиная с главной диагонали: вверх по возрастанию индексов до аn, вниз – по убыванию до а0. Оставшиеся пустыми места матрицы заполняют нулями.

15

Рис. 3.4. Матрица Гурвица для системы n-го порядка

Затем из матрицы выделяют диагональные определители (или определители Гурвица), для чего в ней отчеркивают одинаковое количество строк и столбцов, начиная от верхнего левого угла матрицы. Определители Гурвица имеют вид:

Естественно, что определитель n-го порядка включает в себя всю матрицу. Определитель n-го порядка обычно не вычисляют, т.к. он может быть представлен произведением

∆n = an ∆n-1.

По алгебраическому критерию система n-го порядка устойчива, если все n диагональных определителей Гурвица положительны. Если хотя бы один из диагональных определителей Гурвица равен нулю, то система находится на грани устойчивости. При наличии хотя бы одного отрицательного диагонального определителя система неустойчива.

16

4. Многоконтурные системы регулирования.

Многие объекты химической технологии обладают существенным запаздыванием и характеризуются значительными возмущениями. Использование одноконтурных систем при автоматизации таких объектов не позволяет обеспечить высокого качества регулирования. Поэтому для повышения качества регулирования этих объектов используют более сложные АСР.

4.1.Каскадные АСР.

Вкаскадных системах при регулировании основной технологической величины в объекте с большим запаздыванием используется вспомогательная величина, реагирующая на изменение основного возмущения и регулирующего воздействия с меньшим запаздыванием. В таких случаях стабилизация вспомогательной величины способствует более качественному регулированию основной величины. Каскадная система состоит из нескольких контуров регулирования, каждый из которых регулирует свою (основную или вспомогательную) величину. Применение каскадных схем эффективно только в том случае, когда запаздывание в контуре регулирования основной технологической величины существенно больше, чем в контуре регулирования вспомогательной величины. При автоматизации химико-технологических процессов чаще всего используют двухконтурные каскадные системы.

Структурная схема двухконтурной каскадной АСР приведена на рис. 4.1. В объекте регулирования ОР на

основную х и вспомогательную х1 технологические величины воздействует регулирующая величина u и основное (наиболее

сильное и быстро меняющееся) возмущение z1. На величину х действует также небольшое и редкое возмущение z. Двухконтурная каскадная система имеет вспомогательный

17

(стабилизирующий) контур регулирования и основной (корректирующий) контур. В стабилизирующий контур входит объект регулирования ОР (канал u→х1) и стабилизирующий регулятор АР1, вырабатывающий регулирующее воздействие u, направляемое на исполнительное устройство ИУ. Корректирующий контур регулирования состоит из объекта (канал х→u1) и корректирующего регулятора АР с независимым заданием хзд. На вход регулятора АР поступает основная регулируемая величина х, а на вход регулятора АР1 – вспомогательная величина х1. Выходная величина u1 регулятора АР направляется на регулятор АР1 для изменения его задания. Стабилизирующий контур предназначен для регулирования вспомогательной величины х1, а корректирующий – основной величины х.

Обычно применяют следующие типы каскадных АСР: П–ПИ, ПИ–ПИ, ПИ–ПИД (первый регулятор является стабилизирующим, а второй – корректирующим).

Рис. 4.1. Структурная схема двухконтурной каскадной АСР: ОР – объект регулирования; АР – корректирующий регулятор; АР1 – стабилизирующий регулятор.

Возмущение z1 приводит к изменению сначала вспомогательной величины х1, а затем – основной величины х. Поэтому стабилизирующий контур регулирования быстрее, чем корректирующий, вступит в работу и выработает

18

регулирующее воздействие, которое частично скомпенсирует отклонение основной величины х от заданного значения хзд. Нескомпенсированное отклонение величины х приведет в действие корректирующий контур регулирования, который постепенно скомпенсирует это отклонение. Влияние возмущения z на величину х подавляется корректирующим контуром регулирования. При этом стабилизирующий контур регулирования является быстродействующим, а корректирующий – медленнодействующим. Таким образом, применение стабилизирующего контура регулирования приводит к значительному повышению качества регулирования основной технологической величины.

Для иллюстрации этого положения на рис. 4.2 приведены сравнительные графики переходных процессов в каскадной системе, с П–ПИ-регуляторами (кривая 1) и одноконтурной системе с ПИ-регулятором (кривая 2), полученные при нанесении одинакового возмущения z1 на один и тот же объект. В обоих случаях переходные процессы носят колебательный характер и не имеют статической ошибки регулирования. В то же время при использовании каскадной системы динамическая ошибка и время регулирования имеют меньшие значения. Уменьшается в несколько раз и интегральная квадратичная ошибка регулирования.

х

2

1

Рис. 4.2. Переходные процессы в каскадной П–ПИ системе (кривая 1) и одноконтурной ПИ системе (кривая 2) при одинаковом ступенчатом возмущении z.

19

Следует отметить, что качество регулирования существенно улучшается с уменьшением соотношения времени запаздывания в стабилизирующем (τ1) и корректирующем (τ) контурах. Поэтому, если есть возможность выбора вспомогательной величины, то предпочтение следует отдать той, при которой запаздывание в стабилизирующем контуре будет минимальным.

При реализации каскадных систем следует учитывать, что у многих объектов область технологически допустимых значений вспомогательной регулируемой величины х1, которая задается корректирующим регулятором, ограничена и поэтому в схему необходимо вводить устройства для ограничения величины задания стабилизирующего регулятора.

Примером может служить двухконтурная система регулирования температуры низа ректификационной колонны, поддерживаемая изменением подачи греющего пара в кипятильник (рис. 4.3).

Тзд

Тж АР

АР1 Fп

Конденсат

Кубовый остаток

Рис. 4.3. Схема двухконтурной каскадной АСР температуры в отгонной части ректификационной колонны.

20

Кипятильник представляет собой инерционный объект с большим запаздыванием. В таком случае применение одноконтурного регулирования температуры с воздействием на подачу пара в кипятильник обычно не обеспечивает высокого качества регулирования. Поэтому в схему вводят стабилизирующий контур регулирования расхода греющего пара. Этот контур, обладая большим быстродействием, компенсирует возмущения по изменению как расхода, так и давления греющего пара. Остальные возмущения компенсируются регулятором температуры, который воздействует на задатчик регулятора расхода.

4.2. Комбинированные АСР.

Комбинированные АСР реализуют комбинированный принцип регулирования, т.е. одновременно осуществляется регулирование по отклонению и по возмущению. Структурная схема такой системы, учитывающей одно возмущение, приведена на рис. 4.4.

Текущие значения регулируемой величины х и возмущения z подаются соответственно через измерительные преобразователи ИП и ИПВ на автоматические регуляторы АР и АРВ. После алгебраического суммирования выходы этих регуляторов через исполнительное устройство ИУ направляются на вход объекта в качестве управляющего величины u. Воздействие на объект осуществляется по двум каналам: разомкнутому и замкнутому. С помощью разомкнутого канала (регулирование по возмущению) обеспечивается быстрое воздействие на объект еще до отклонения регулируемой технологической величины от заданного значения, а с помощью замкнутого канала обратной связи осуществляется качественное поддержание регулируемой величины на заданном значении посредством текущего контроля ошибки регулирования. Пример комбинированной системы приведен на рис. 4.5.