17. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их решение.

Уравнение задаётся оператором присвоения. Русское сокращение - ОДУ. Стандартный символ в Maple: ode (ordinary differential equation). При записи уравнения необходимо указать зависимость искомой функции от аргумента, например: f(x).

Пример записи уравнения (a, b, c - рассматриваются как константы).

> ode1:=diff(y(x), x, x)+a*diff(y(x), x)+b*y(x)=c;

Введение сокращённой записи для последующего использования (по умолчанию подразумевается равенство нулю):

> ode2:=diff(y(x), x, x)+a*diff(y(x), x)+b*y(x)-u(x); assume(a>0,b>0,с=0);

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка, где функция u(x) должна быть задана. Для определённости наложили условия на константы a, b, с. (В Help имеется обширная справка по теме). Возникающие в решении ОДУ произвольные константы программа обозначает с предварительным подчёркиванием: _С.

Аналитическое решение диф. уравнения с помощью стандартных алгоритмов не всегда возможно. Тогда прибегают к численным методам.

>

17.1. Общее решение оду.

Оператор решения: dsolve (Solve ordinary differential equations). (Предполагается, что уравнение имеет решение)

Пример 1. Линейное уравнение 1-го порядка (решение содержит произвольную константу интегрирования _С1).

> ode3:=diff(y(x), x)=a+b*sin(k*x); dsolve(ode3);

По умолчанию уравнение решается относительно неизвестной функции, входящей под знаком производной. Если уравнение содержит несколько функций, заданных в общем виде, искомая функция определяется дополнительным параметром команды (см. Пример 4).

Пример 2. Нелинейное уравнение 1-го порядка.

> ode4:=diff(y(x), x)-a*(y(x))^2=0; dsolve(ode4);

Пример 3. Линейное неоднородное ОДУ 2-го порядка (ode1 - см. выше).

> Y:=dsolve(ode1);

Нашли общее решение уравнения в виде суммы общего решения однородного уравнения, которое само является суперпозицией 2-х решений, и частного решения неоднородного уравнения c/b. Решение содержит 2 произвольных константы интегрирования С1 и С2, определяемые из дополнительных условий (обозначены нижним тире). Решение обозначено присвоением, что позволяет далее работать с этим выражением (с символическим обозначением y(x) Maple никаких операций не производит). Иногда обозначают решение символом ответа ans (answer). Пример дальнейших действий с решением (частный случай и упрощение):

> Y0:=expand(simplify(subs(a=0, Y)));

Пример 4. Общее решение линейного неоднородного ОДУ c произвольной функцией u(x):

> F:=dsolve(ode2, y(x));

Оставшиеся интегралы вычисляются отдельно при заданной функции u(x).

Пример 5. Линейное однородное ОДУ 3-го порядка (решение содержит 3 произвольных константы).

> ode5:=diff(y(x), x,x,x)-3*a*diff(y(x), x,x)+3*a^2*diff(y(x), x)-a^3*y(x)=0;

> G:=dsolve(ode5);

Пример 6. В ряде случаев, например, для квазилинейных уравнений, решения могут выражаться высшими трансцендентными функциями:

> ode6:=x*diff(y(x), x, x)+b*y(x)=0; H:=dsolve(ode6);

Вследствие наличия в решениях неопределённых констант, эти решения нельзя использовать для практических расчётов и графиков.

>