3. Влияние изменения коэффициентов функции ф на прибыль.

Суть анализа состоит в ответе на вопрос: «В каких пределах могут изменяться коэффициенты целевой функции Ф исходной задачи, чтобы структура оптимального решения не изменилась?»

Чтобы определить это влияние, нужно изменить коэффициенты в выражении целевой функции Ф на величину ΔС_i и подставить в выражения базисных переменных, полученное на последнем шаге.

Чтобы структура оптимального решения сохранилась, потребуем, чтобы коэффициенты при свободных переменных в преобразованной функции Ф были отрицательными (т.к. задача на maxФ).

В результате получим соотношения для ΔС_i, которые задают пределы изменения коэффициентов в функции Ф, при которых сохраняется структура оптимального плана, т.е. остается выпустить заданный перечень продукции в найденных для оптимального плана величинах.

Для рассмотренного примера целевая функция Ф имеет вид:

Ф = 2x₁ + 3x₂ → max

Базисные переменные, входящие в целевую функцию, выражаются через свободные следующим образом:

х₁ = 6 + 1/5х₃ – 3/5 х₄,

х₂ = 4 - 2/5 х₃ + 1/5 х₄.

Дадим коэффициентам целевой функции приращения ΔC₁, ΔC₂. целевая функция примет вид

Ф(ΔC₁, ΔC₂) = (2+ ΔС₁)( 6 + 1/5х₃ – 3/5 х₄) + (3+ ΔС₂)( 4 – 2/5 х₃ + 1/5 х₄) =

= (24+6 ΔС₁ +4 ΔС₂) + 1/5(–4+ ΔС₁ - 2ΔС₂)x₃ + 1/5(–3 –3ΔС₁+ ΔС₂)x₄

Требуя, чтобы решение было оптимальным (коэффициенты при свободных переменных были отрицательными), получим соотношения:

– 4 + ΔС₁ – 2ΔС₂ ≤ 0, ΔС₁ – 2ΔС₂ ≤ 4,

–3 – 3ΔС₁ + ΔС₂ ≤ 0, –3ΔС₁ + ΔС₂ ≤ 3.

Таким образом, для всех значений цен величины ΔС₁ и ΔС₂ находятся в пределах, задаваемых построенной областью. Структура оптимального решения останется неизменной. При этом значение Ф равно:

Ф = 24 + 6 ΔС₁ + 4 ΔС₂.

4. Оценка изменения структуры решения.

Допустим, что в исходной задаче, для которой найден оптимальный план выпуска продукции Р₁ и Р₂ в количествах 6 и 4 единиц, появилась возможность выпуска еще одного вида продукции Р₃.

Пусть затраты на единицу продукции Р₃ составят:

а₁₃ = 3 единицы ресурса S₁,

а₂₃ = 2 единицы ресурса S₂,

а₃₃ = 4 единицы ресурса S₃,

а₄₃ = 1 единица ресурса S₄,

цена единицы продукции Р₃ равна С ₃=3 единицы.

Какой должна быть прибыль от единицы продукции Р₃, чтобы ее производство было рентабельным?

Можно включить продукцию Р₃ в условие исходной задачи и заново решить ее, однако это потребует новых затрат (трудовых, стоимостных, временных).

Более быстро можно получить ответ, используя объективно обусловленные оценки ресурсов.

Найдем дополнительные затраты на ресурсы в расчете на единицу продукции Р₃:

а₁₃у₁^* + а₂₃у₂^* + а₃₃у₃^* + а₄₃у₄^* = 3·4/5 + 2·3/5 + 4·0 + 1·0 = 3,6

Полученное значение затрат на ресурсы больше цены продукции (которая предполагалась равной С₃=3), поэтому выпуск продукции Р₃ не следует включать в план, и необходимость повторного решения задачи в изменившихся условиях отпадает. Чтобы производство продукции Р₃ было рентабельным, ее цена должна быть не менее, чем 3,6.

Примечание. Возможен случай, когда в оптимальном решении базисная переменная обращается в нуль (вырожденное решение). Это означает, что выпуск соответствующего вида продукции нецелесообразен (в нашей задаче такого нет).

Соответствующая дополнительная переменная двойственной задачи будет ненулевой. Она показывает, насколько уменьшается прибыль при принудительном выпуске единицы продукции данного вида.