76

Основы матмоделирования … ЧелГУ

3.9. Постоптимальный анализ задачи лп.

3.8.1. Объективно обусловленные оценки и их смысл

При решении задач ЛП важно не только найти оптимальное решение, но и проанализировать полученные результаты, чтобы ответить на ряд вопросов, в частности:

1. Как изменится прибыль при изменениях исходных данных?

2. Какова цена отклонения от структуры оптимального решения, т.е. каковы экономические результаты принятого неоптимального решения?

Целью такого анализа является оценка возможности и способов правильного и своевременного реагирования на постоянно изменяющиеся условия.

Решение двойственной задачи и взаимосвязи между переменными взаимно-двойственных задач позволяют провести глубокий анализ моделируемой экономической ситуации. В частности, благодаря тесной связи между решениями пары двойственных задач, по значениям компонентов оптимального решения двойственной задачи можно :

а) определить характер изменения оптимизируемой функции Ф(Х) исходной задачи;

б) оценить влияние правых частей системы ограничений (b_i) исходной задачи на оптимальное значение целевой функции Ф(Х);

в) с помощью оптимальных оценок y_i^* исследовать, как реагирует целевая функция Ф(Х) на изменение ресурсов и т.д.

Компоненты оптимального решения двойственной задачи называются оптимальными оценками исходной задачи или (по версии академика Л.В. Канторовича) объективно обусловленными оценками - ООО.

Для выяснения их смысла рассмотрим задачу об использовании ресурсов и двойственную к ней задачу, приведенную в предыдущем примере. Таблицу взаимосвязи переменных представим в следующем виде

Компоненты оптимального решения исходной задачи 1
Первоначальные переменные: число единиц продукции		Дополнительные переменные: остатки ресурсов, ед.
р1	р2	s1	s2	s3	s4
6	4	0	0	1	3
0	0	4/5	3/5	0	0
превышение затрат на ресурсы над ценой реализации, называемое ценой ресурса		Объективно обусловленные оценки ресурсов (условные цены ресурсов)
Компоненты оптимального решения двойственной задачи 2

В этой таблице дополнительные переменные исходной задачи 1 (х₃, х₄, х₅, х₆) представляют разность между запасами ресурсов (b₁, b₂, b₃, b₄ – правые части неравенств) и их потреблением (левые части ограничений 1-й задачи), т.е. выражают остатки ресурсов.

Дополнительные переменные двойственной задачи 2 (у₅, у₆) представляющие разность между затратами на ресурсы для производства из них продукции (левые части неравенств задачи 2) и ценами (с₁, с₂) продукции р₁, р₂ (правые части неравенств задачи 2) выражают превышение затрат на ресурсы над ценой реализации, называются ценой ресурса.

Ресурсы s₁ и s₂ по оптимальному плану полностью использованы (х₃*=0, х₄*=0) и ООО этих ресурсов ненулевые (у₁^*=4/5; у₂^*=3/5).

Ресурсы s₃ и s₄ не полностью используются в оптимальном плане (х₅*=1, х₆*=3) и ООО их равны нулю (у₃^*= 0; у₄^*= 0).

Таким образом, объективно обусловленные оценки ресурсов определяют степень дефицитности ресурсов: по оптимальному плану производства дефицитные (т.е. полностью используемые) ресурсы получают ненулевые оценки, а недефицитные – нулевые оценки.

По оптимальному плану в исходной задаче следует производить оба вида продукции (х₁*=6, х₂*=4) и превышение затрат на ресурсы над ценой реализации равно нулю (у₅^*= 0; у₆^*= 0). Если бы затраты на ресурсы превышали цену изготавливаемой из них продукции, например, продукции р₂, т.е. если бы у₆>0, то на основании теоремы о взаимосвязях переменных оптимальное значение соответствующей переменной х₂* был бы равен нулю, и в этом случае по оптимальному плану производить продукцию р₂ не следовало.

Итак, в оптимальный план производства могут попасть только рентабельные, неубыточные виды продукции.

Для выяснения того, что показывают численные значения ООО ресурсов, рассмотрим следующую теорему.

Третья теорема двойственности. Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны значениям частных производных линейной функции исходной задачи Fmax (b₁, b₂, …, b_m) по соответствующим аргументам. (*)

Из теоремы следует, что ООО показывает, на сколько денежных единиц изменяется максимальная прибыль от реализации продукции при изменении запасов соответствующего ресурса на одну единицу, т.е. выражает градиент изменения целевой функции по данному ресурсу.

Замечание: ООО ресурсов позволяют судить об эффекте лишь при достаточно малых изменениях b_i, т.к. в противном случае может произойти переход в другую угловую точку, соответствующую другому оптимальному решению.