68

Основы матмоделирования … ЧелГУ

3.8. Двойственность в линейном программировании.

3.7.1. Понятие двойственности.

С каждой задачей линейного программирования бывает тесно связана другая вполне определенная линейная задача.

Рассмотрим задачу линейного программирования в стандартной форме, предусматривающую отыскание вектора Х = (х₁, х₂, ..., х_n), удовлетворяющего ограничениям a_ij  x_j  b_i, (i = 1, m) (3.18)

и обеспечивающего максимум линейной функции

Ф = c_j  x_j  max (3.19)

С этой задачей тесно связана другая задача:

найти вектор Y = (y₁, y₂, ..., y_m), который удовлетворяет ограничениям a_ji  y_i  c_j , (j = 1, n) (3.20)

и обеспечивает минимум линейной функции

F = b_i  y_i  min (3.21)

Запишем математические модели рассматриваемых задач в матричном виде:

Ф = С•Х  max при А•Х  В, Х  0; (3.22)

F = В•Y  min при А^T•Y  C, Y  0. (3.23)

Как видно из этой записи, между математическими моделями рассмотренных

задач существует тесная взаимосвязь, которая заключается в следующем:

а) смысл экстремума первой задачи противоположен смыслу экстремума

второй, то есть, если в первой задаче ищут max, во второй– min и наоборот;

б) при переходе от первой задачи ко второй матрицы В и С меняются ролями: коэффициенты при переменных целевой функции первой задачи являются свободными членами системы ограничений второй задачи и, наоборот, свободные члены системы ограничений первой задачи являются коэффициентами при переменных целевой функции второй;

в) знаки неравенств в системах ограничений противоположны, причем, в задаче максимизации целевой функции все неравенства вида «  », а в задаче минимизации целевой функции– вида «  »;

4) число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче;

5) матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются взаимно транспонированными:

для задачи 1 a₁₁ a₁₂ . . . a_1n

А = a₂₁ a₂₂ . . . a_2n

. . . .

a_m1 a_m2 . . . a_mn

для задачи 2 a₁₁ a₂₁ . . . a_m1

А^т = a₁₂ a₂₂ . . . a_m2

. . . .

a_1n a_2n . . . a_mn

Две задачи линейного программирования, обладающие перечисленными свойствами, называются взаимно двойственными задачами. Первоначальная задача называется исходной (или прямой), вторая – двойственной к исходной. Задача, двойственная к двойственной, всегда совпадает с прямой (легко проверяется непосредственно).

Если исходная задача имеет экономический смысл, то двойственная к ней задача обычно допускает некоторую экономическую интерпретацию. Так, в задаче анализа производственных процессов, например, двойственным переменным y_i обычно придается характер цен: Y принято называть «вектором условных оценок», причем «условная оценка» может мыслиться как фиктивная цена, которая приписывалась бы продукту, если бы экономика строилась на основе полной конкуренции. В качестве примера рассмотрим следующие задачи.

Задача первая (исходная). Задача использования ресурсов.

Составить план выпуска продукции j-го типа (j = 1,n), обеспечивающий максимальную прибыль от реализации продукции при условии, что потребление каждого i-го вида ресурса не превзойдет имеющихся запасов.

Эту задачу можно сформулировать как задачу отыскания вектора

Х = (х₁, х₂, ..., х_n), удовлетворяющего ограничениям a_ijx_j  b_i, (i = 1, m) и обеспечивающего максимум линейной функции Ф =c_j x_j  max, (3.19’)

где x_j - количество изготавливаемой продукции j-го типа;

c_j - прибыль от реализации единицы продукции j-го типа;

a_ij - количество ресурса i-го типа, необходимое для изготовления

единицы продукции j-го типа;

b_i - размеры запаса i-го ресурса.

Задача вторая (двойственная). Задача о закупке ресурсов.

Найти набор цен ресурсов y_i (i = 1,m), обеспечивающий минимальные суммарные затраты на их покупку при условии, что объем запаса ресурса каждого вида должен составлять b_i единиц, а затраты на ресурсы при производстве каждого типа продукции будут не менее прибыли от реализации этой продукции.

Задача может быть сформулирована в следующем виде: найти вектор

Y = (y₁, y₂, ..., y_m), удовлетворяющий ограничениям a_ji  y_i  c_j , (j = 1,n) и обеспечивающий минимум линейной функции F =b_i  y_i  min (3.21’)

Условие (3.19’) соблюдает интересы стороны, покупающей ресурсы и производящей продукцию, условие (3.21’)-интересы стороны, занимающейся изготовлением аналогичной продукции и продающей «излишки» ресурсов. Это предприятие стремится продать сырье по таким ценам, чтобы получить такую же прибыль, как и в случае, если бы из проданного сырья была изготовлена продукция. Цены ресурсов y_i , как отмечено выше, называются учетными, теневыми ценами. Они "ненастоящие", условные цены.