3.5.3. Метод искусственного базиса (м-метод)

3.6. Понятие о вырожденном решении.

При рассмотрении симплексного метода предполагалось, что b_i > 0 как в исходной системе, так и в системах, получаемых в очередных итерациях.

Если же в некоторых уравнениях свободные члены b_i=0, то в соответствующем этой системе опорном решении базисные переменные, относительно которых эти уравнения разрешены, принимают нулевые значения. Опорное решение, в котором хотя бы одна из базисных переменных принимает нулевое значение, называется вырожденным решением, а задача линейного программирования, имеющая хотя бы одно вырожденное решение, - вырожденной задачей.

Применяя в этом случае последовательные итерации, мы можем вернуться к ранее встречавшемуся набору базисных и свободных переменных, то есть, возникает, так называемое, зацикливание в схеме расчета.

Для устранения зацикливания существует несколько приемов или правил. Не затрагивая теоретического обоснования этих правил, являющегося специальным вопросом, так называемой, проблемы вырождения, отметим, что одно из правил рекомендует в опорном плане эти нулевые элементы матрицы заменить произвольной бесконечно малой величиной ε > 0 и рассматривать их как обычные базисные элементы плана.

Таблица 3.9.1.

Базисные переменные	Свободные члены	x1	x2	x3	x4	x5	x6	Оценочные отношения	Коэфф. перехода
x3	19	2	3	1	0	0	0	19/3	-1
x4	13	2	1	0	1	0	0	13/1	-1/3
x5	15	0		0	0	1	0	15/3	1/3
x6	18	3	0	0	0	0	1
Ф	0	-7	-5	0	0	0	0		5/3

Х₁ = (0; 0; 19; 13; 15; 18) Ф₁ = 0.

Таблица 3.9.2.

x3	4		0	1	0	-1	0	2	1/2
x4	8	2	0	0	1	-1/3	0	4	-1
x2	5	0	1	0	0	1/3	0
x6	18	3	0	0	0	0	1	6	-3/2
Ф	25	-7	0	0	0	5/3	0		7/2

Х₂ = (0; 5; 4; 8; 0; 18) Ф₂ = 25.

Таблица 3.9.3.

x1	2	1	0	1/2	0	-1/2	0		3/4
x4	4	0	0	-1	1		0	6	3/2
x2	5	0	1	0	0	1/3	0	15	-1/2
x6	12	0	0	-3/2	0	3/2	1	8	-9/4
Ф	39	0	0	7/2	0	-11/6	0		11/4

Х₃ = (2; 5; 0; 4; 0; 12) Ф₃ = 39.

Таблица 3.9.4.

x1	5	1	0	-1/4	3/4	0	0
x5	6	0	0	-3/2	3/2	1	0
x2	3	0	1	1/2	-1/2	0	0
x6	3	0	0	3/4	-9/4	0	1
Ф	50	0	0	3/4	11/4	0	0

Х₄ = (5; 3; 0; 0; 6; 3) Ф₄ = 50.