2 4 6 8 12 14 16 18 20 10 Х1 о

Рис. 4.2.

На рис. 4.2 OKLM–область допустимых решений задачи (4.1.1) –(4.1.3), ограниченная прямыми (1), (2), (3) и осями координат; L(2/3; 8) – точка оптимального, но нецелочисленного решения задачи (4.1.1)–(4.1.3); (4) - прямая, отсекающая это нецелочисленное решение; OKNM – область допустимых решений расширенной задачи (4.1.1) – (4.1.3), (4.1.4); N(2; 7) – точка оптимального целочисленного решения.

I шаг. Базисные переменные х₃, х₄ , х₅; свободные переменные х₁, х₂.

х₃ = 60 - 3x₁ - 5x₂ ,

х₄ = 34 - 3x₁ - 4x₂,

х₅ = 8 - x₂ ,

Ф = 2x₁ +3x₂ ,

Первое базисное решение Х₁ = (0; 0; 60; 34; 8) – допустимое. Соответствующее значение линейной функции Ф₁ = 0.

Условие оптимальности не выполнено, максимум Ф не достигнут. Переводим в базисные переменную x₂, которая входит в выражение линейной функции с наибольшим положительным коэффициентом. Находим максимально возможное значение x₂, которое «позволяет» принять система ограничений, из условия минимума соответствующих отношений x₂ = min (60/5; 34/4; 8/1) = 8,

то есть, разрешающим является третье уравнение. При x₂ = 8 в этом уравнении х₅= 0, и в свободные переходит переменная х₅, переменная x₂- в базисные.

II шаг. Базисные переменные х₂ , х₃ , х₄ ; свободные переменные х₁ , х₅.

х₂ = 8 – x₅

х₃ = 20 - 3x₁ + 5x₅ ,

х₄ = 2 - 3x₁ + 4x₅ ,

Ф = 24 +2x₁ -3x₅ .

Х₂ = (0; 8; 20; 2; 0); Ф₂ = 24. Условие оптимальности не выполнено, максимум Ф не достигнут. Переводим в базисные переменные х₁ , а в свободные х₄ , так как x₁= min (∞; 20/3; 2/3) = 2/3,

III шаг. Базисные переменные х₁ , х₂ , х₃; свободные переменные х₄ , х₅.

х₁= 2/3 – 1/3∙x₄ +4/3∙x₅ ,

х₂ = 8 - x₅ ,

х₃ = 18 + x₄ + x₅ ,

Ф = 76/3 – 2/3∙x₄ -1/3∙x₅ .

Х₃ = (1; 8; 18; 0; 0); Ф₂ = 76/3. . Условие оптимальности выполнено, максимум Ф достигнут, задача решена.

4.3. Понятие о методе ветвей и границ

Метод ветвей и границ – один из комбинаторных методов. Его суть заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.

Суть метода, не прибегая к математическим выкладкам, можно представить следующим образом: множество допустимых решений (планов)G_o некоторым образом разбивается на подмножества G₁ и G₂ (рис. 4.6), каждое из которых этим же или другим способом снова разбивается на подмножества G₂₁ и G₂₂ и так далее. Процесс продолжается до тех пор, пока каждое подмножество не будет представлять собой точку в многомерном пространстве.

Разбиение множества решений на подмножества позволяет в ряде случаев существенно уменьшить объем перебора вариантов и основан на определении нижней границы линейной функции (Ф₀) и нижней и верхней границ нецелочисленной компоненты оптимального решения На каждом шаге нецелочисленный план, не способствующий достижению цели задачи (например, Ф(Х*) ≤ Ф₀ в задаче максимизации), исключается из дальнейшего рассмотрения.

Пусть задача 1 (задача (4.41) - (4.43) максимизации линейной функции Ф без учета целочисленности) решена симплексным методом и известны нижняя и верхняя границы для каждой переменной x_j: v_j ≤ x_j ≤ w_j (j = 1, n), а также нижняя граница линейной функции Ф_о, то есть, при любом плане Х имеем Ф(Х) ≥ Ф_о. Предположим для определенности, что только первая компонента х₁^* оптимального плана Х^* задачи 1 не удовлетворяет условию целочисленности. Тогда из области допустимых значений задачи 1исключается область: [x₁^*]< x₁^*<[x₁^*]+1, где [x₁^*] – целая часть числа x₁^*. В результате из задачи 1 формируют две задачи: 2 и 3, отличающиеся друг от друга тем, что в задаче 2 кроме ограничений (4.42) задачи 1 добавлено ограничение v₁ ≤ x₁^*≤ [x₁^*], а в задаче 3 кроме тех же ограничений (4.43) добавлено ограничение [x₁^*]≤ x₁^*≤ w₁. Получим список из двух задач: 2 и 3.

Решаем одну из них (в любом порядке). В зависимости от полученного решения список задач расширяется, либо сокращается.

Если в результате решения одной из задач (2 или 3) получен нецелочисленный план, для которого Ф(Х^*) ≤ Ф_о, то данная задача исключается из списка. Если Ф(Х*) > Ф_о, то из данной задачи формируются две новые задачи.

Если полученное решение Х^* удовлетворяет условию целочисленности и Ф(Х^*) > Ф_о, то значение Ф_о корректируется и за величину нижней границы Ф_о принимается оптимум линейной функции полученного целочисленного плана.

Процесс продолжается до тех пор, пока список задач не будет исчерпан, то есть, все задачи не будут решены.

Процесс формирования процедуры перебора может быть представлен в виде схемы ветвления. Сечение исходной допустимой области G_o гиперплоскостью на части G₁₁ и G₁₂ с последующим разделением на G₂₁ и G₂₂ представляет собой построение дерева ветвлений с соответствующими подмножествами, как это показано на рис. 4.4.

Возможность оценки образуемых подмножеств по наибольшему (наименьшему) значению линейной функции для задач максимизации (минимизации) позволяет сократить перебор в силу того, что одно из подмножеств, как указано выше, при выполнении определенных соотношений исключается и не нуждается в последующем анализе.

Выбор оценок при определении границ и схемы ветвления взаимосвязаны и трудно указать общие рекомендации по использованию на практике этого метода.