9

Основы матмоделирования … ЧелГУ

4. Целочисленное программирование.

4.1. Постановка задачи.

Среди практических задач отыскания экстремума линейной функции важное место занимают задачи с требованием целечисленности всех или части переменных. Они называются задачами целочисленного или дискретного программирования.

В терминах дискретного программирования формализуются многие важные задачи экономики, управления, планирования, проектирования, военного дела и других областей практической деятельности.

Исторически первой задачей целочисленного типа является опубликованная венгерским математиком Е. Эгервари в 1932 году задача о назначении персонала. Системные исследования в области целочисленного программирования начаты с 1955 г., когда на Втором симпозиуму по линейному программированию была рассмотрена задача о бомбардировщике, известная также как задача о ранце.

Основными источниками возникновения дискретности и целочисленности в задачах оптимизации являются:

а) физическая неделимость факторов. Например, нельзя построить 1,5 домны или закупить 3,8 самолета;

б) комбинаторные задачи. Например, задача о бродячем торговце – коммивояжере или задача теории расписаний;

в) некоторые многоэкстремальные задачи.

Рассмотрим подробнее первый класс задач, связанных с физической неделимостью факторов.

Задача целочисленного программирования формулируется так же, как и задача линейного программирования, но включается дополнительное требование, состоящее в том, значения переменных, составляющих оптимальное решение, должны быть целыми неотрицательными числами, а именно:

найти такое решение Х = (х₁, х₂, . . . , х_n), обеспечивающее максимальное или минимальное значение линейной функции

Ф = с_j ּ x_j (4.41)

при ограничениях a_ij ּ x_j = b_i , i = 1, m (4.42)

x_j ≥ 0, j = 1, n (4.43)

Х = (х₁, х₂, . . . , х_n)  D (4.44)

где D – некоторое множество.

Если множество D является конечным или счетным, то условие (4.44) – это условие дискретности, и данная задача является задачей дискретного программирования.

Если вводится ограничение «x_j – целые числа», то получим задачу целочис-

ленного программирования, которое является частным случаем дискретного программирования.

Требование дискретности или целочисленности может быть задано либо относительно всех переменных, либо относительно некоторых из них.

Так, если все x_j целочисленны, область определения целочисленной задачи геометрически отождествляется с множеством дискретных точек – узлов целочисленной решетки (рис. 4.3 – а), если целочисленны лишь отдельные x_j , - с мно- жеством непересекающихся линий, плоскостей, гиперплоскостей (рис.4.3 – б).

Рис. 4.3 – а. Рис. 4.3 – б.

Если в решаемой задаче, к примеру в экономической, единица продукции составляет малую часть всего объема производства, то оптимальное решение найти обычным симплексным методом, округляя его до целых единиц, исходя из смысла задачи. В противном случае округление может привести к целочисленному решению, далекому от оптимального. В этих случаях для решения задач дискретного программирования используют специально разработанные методы.

Методы решения задач дискретного программирования по принципу подхода к проблеме делят на 3 группы: 1) методы отсечения или отсекающих плоскостей (метод Гомори); 2) комбинаторные методы (метод ветвей и границ); 3) методы случайного поиска и эвристические методы.