10

исследование операций-2011

2. Исследование операций, как аппарат решения

ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ.

2.1. Общая постановка задачи исследования операций.

решением (управлением или стратегией) операции называется всякий определенный выбор параметров операции.

Оптимальным считается решение, которое по тем или иным признакам предпочтительнее других.

Важным моментом в исследовании операций является способ выбора оптимального решения. Для осуществления такого выбора используется понятие эффективности операции.

Под ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ операции понимается степень ее приспособленности к выполнению стоящей перед ней задачи. Чем лучше организована операция, тем она эффективнее.

В качестве количественной меры достижения поставленной цели или степени соответствия хода операции поставленной цели используют специальный признак - КРИТЕРИЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ (от греческого kriterion - отличительный признак, средство для решения, мерило), по которому производится сравнительная оценка альтернатив и выбор наилучшего решения.

КРИТЕРИЕМ ЭФФЕКТИВНОСТИ или ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИЕЙ операции называется формальное соотношение, отражающее математическую связь между допустимыми вариантами решения и мерой достижения поставленной цели - эффективностью операции.

То есть, критерий эффективности представляют в виде некоторой функции или функционала, аргументами которой являются допустимые варианты решения, а значениями - числа, которые характеризуют меру (степень) достижения поставленной цели. Задача принятия решения сводится, тем самым, к нахождению конкретного решения - аргумента, на котором достигается максимальное (или минимальное) значение целевой функции. Такое решение и является оптимальным решением.

Конкретный вид показателя эффективности или целевой функции зависит от специфики рассматриваемой операции, ее целевой направленности, а также от задачи исследования. Например, в задаче об использовании ресурсов критерием эффективности служит прибыль от реализации произведенной продукции, которую нужно максимизировать. В транспортной задаче критерием эффективности является сумма затрат на перевозку грузов от поставщиков к потребителям, которую нужно минимизировать.

Все переменные и параметры, входящие в описание исследуемой операции, можно разделить на две группы:

1) экзогенные параметры (или переменные) - параметры, которые задаются вне модели, то есть, известны заранее, и на которые мы влиять не можем. Эти параметры определяют условия проведения операции. Обычно они входят в математическую модель в виде коэффициентов уравнения.

Обозначим их а₁, а₂, …, а_m или a_j, (j = 1,m);

2) эндогенные параметры - параметры, которые определяются в ходе расчетов по модели и не задаются извне. Эти переменные являются элементами решения задачи. Обозначим их через х₁, х₂, ..., x_n или x_i, (i = 1,n) . На величины эндогенных параметров x_i накладываются ограничения Ф_i(x_i)  bi или Ф_i(x_i) ≤ bi.

Например, в задаче об использовании ресурсов к экзогенным параметрам

следует отнести запасы ресурсов каждого вида, производственную матрицу, элементы которой определяют расход сырья каждого вида на единицу выпускаемой продукции каждого вида, к эндогенным параметрам - элементы решения - план выпуска продукции каждого вида.

Критерий эффективности, выражаемый некоторой функцией, называемой целевой, зависит от параметров обеих групп, поэтому целевую функцию W можно записать в виде W = f (x₁, x₂, ..., a₁, a₂, ...) (2.1)

Зачастую, на величины эндогенных параметровx_j (j = 1, n) накладываются ограничения, задаваемые в виде системы уравнений или неравенств, например, Ф_i (x₁, x₂, x₃, ..., x_n)  b_i, i = 1, m (2.2)

и условия неотрицательности x_j  0 , (2.3)

Оптимизационную задачу можно сформулировать в следующем виде:

Найти значения переменных x₁, x₂, ..., х_n, удовлетворяющие системе ограничений (2.2), условиям неотрицательности (2.3) и обращающие в максимум (или минимум) целевую функцию (2.1)

Математическая модель данной задачи выглядит следующим образом:

W = f (x₁, x₂, ..., x_n) → max (min)

при условии Ф_i (x₁, x₂, x₃, ..., x_n)  b_i, i = 1, m

x_j  0 ,

Как известно, упорядоченная совокупность значений n переменных

x₁, x₂,..., х_n представляется точкой n-мерного пространства. В дальнейшем эту точку будем обозначать Х = (х₁, x₂, ..., x_n), а само оптимальное решение

Х* = (х₁*, х₂*,..., x_n*).

Задача (2.1)-(2.3) представляет собой задачу определения экстремума функции многих (n) переменных.

В тех случаях, когда функции f и Ф хотя бы дважды дифференцируемы, можно применять классические методы оптимизации (например, методы дифференциального, вариационного исчисления и др.). Однако применение этих методов в исследовании операций весьма ограничено, так как: 1) задача определения условного экстремума функции n переменных технически весьма трудна; 2) классические методы дают возможность определить локальный экстремум, а из-за многомерности функции определение ее максимального (или минимального) значения (глобального экстремума) может оказаться весьма трудоемким; 3) тем более, что этот экстремум возможен на границе области решений, а классические методы не позволяют исследование функций на границах области их определения; 4) классические методы вовсе не работают, если множество допустимых значений аргумента дискретно или функция W задана таблично. В этих случаях для решения задачи применяются методы математического программирования.

Математическое программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т.е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Термин "программирование" (от англ. programming- составление плана или программы действий) следует понимать здесь именно в смысле "поиска наилучших планов или решений" (в отличие от толкования, которое принято специалистами по программному обеспечению ЭВМ, где под программированием понимается процесс составления плана действий - набор алгоритмов и программ по автоматизированной обработке информации на ЭВМ).