Методы оптимизаций / Раздел 3

82

Основы матмоделирования … ЧелГУ

3.7. Применение основной задачи линейного

программирования к решению некоторых

экономических задач

Линейное программирование возникло из практических потребностей, поэтому оно находит применение при решении широкого класса различных практических, в частности, экономических задач. Рассмотрим постановку и решение некоторых из них.

1. Задача использования ресурсов.

Предприятие имеет m видов ресурсов, количество которых соответственно равно b_i, (i = 1, m) единиц, из которых производится n видов продукции. Предприятие может обеспечить выпуск продукции j-го вида в количестве не более d_j (j = 1, n) единиц (рынок не может поглотить более d_j единиц). Для производства единицы j-й продукции необходимо a_ij единиц i-го ресурса. При реализации единицы j-й продукции прибыль составляет c_j единиц.

Необходимо составить план выпуска продукции, который обеспечивал бы получение максимальной прибыли при реализации всей выпущенной продукции.

Если обозначить через х_j (j= 1, n) количество единиц j-й продукции, которое необходимо выпустить, то поставленная задача имеет следующую математическую модель.

Найти максимальное значение линейной функции Ф = (c_j∙x_j)

при ограничениях (a_ij∙x_j) ≤ b_i, i = 1, m (3.32)

0 ≤ x_j ≤ d_j, j = 1, n

2. Задача оптимального использования удобрений.

Пусть для выращивания некоторой культуры применяется m видов удобрений, соответственно, в количестве b_i, (i = 1, m) единиц. Вся посевная площадь разбита на n почвенно - климатических зон, каждая по d_j, (j = 1, n) единиц. Пусть а_ij - количество удобрения i-го типа, вносимого на единицу площади j-й зоны, а c_j - повышение средней урожайности, получаемой с единицы площади j-й зоны. Составить план распределения удобрений между посевными зонами, который обеспечивал бы максимальный суммарный прирост урожайности культуры.

Обозначим через х_j (j = 1, n) площадь j-й зоны, которую необходимо удобрить; тогда математическая модель поставленной задачи имеет вид (3.32).

3. Задача составления диеты.

Дневная диета должна содержать m видов различных питательных веществ, соответственно, в количестве не менее b_i (i = 1, m) единиц. Имеется n различных продуктов в количестве d_j (j=1, n) единиц.

Пусть а_ij - количество единиц i-го питательного вещества, содержащегося в единице j-го продукта; c_j - стоимость единицы j-го продукта.

Определить, какие продукты и в каком количестве необходимо включить в диету, чтобы она удовлетворяла минимальной дневной потребности в каждом питательном веществе при наименьшей общей стоимости используемых продуктов.

Обозначим через х_j (j = 1, n) количество единиц j-го продукта в диете; тогда задача имеет следующую математическую модель.

Найти минимальное значение линейной функции Ф = (c_j·x_j)

при ограничениях (a_ij∙x_j) ≥ b_i, i = 1, m (3.33)

0 ≤ x_j ≤ d_j, j = 1, n

К этому виду относятся также задачи составления дневного рациона, задачи на составление смесей, а также некоторые задачи планирования производства.

4. Задача об использовании мощностей ( задача о загрузке

оборудования)

Предприятию задан план производства m видов продукции по времени и номенклатуре: требуется за время Т выпустить b_i (i = 1, m) единиц продукции каждого типа. Продукция производится на станках n типов. Для каждого станка известны производительность a_ij (то есть, количество продукции j-го вида, которое можно произвести на станке i-го типа за единицу времени) и затраты c_ij на изготовление продукции j-го вида на станке i-го типа.

Необходимо составить такой план работы станков (т.е. так распределить выпуск продукции между станками), чтобы затраты на производство всей продукции были минимальными.

Обозначим x_ij – время, в течение которого станок i-го типа будет занят изготовлением продукции j-го вида (i = 1, m; j = 1, n). Затраты на производство всей продукции выразятся функцией F = c_ijּx_ij, которую нужно минимизировать.

Для выполнения плана выпуска по номенклатуре необходимо, чтобы выполнялись следующие равенства: a_ijּx_ij = b_i (i =1, m)

Кроме того, x_ij ≥ 0 (i = 1,m; j = 1, n)

Так как время работы каждого станка ограничено и не превышает Т, то система ограничений может быть дополнена неравенствами:

x_ij ≤ T (i = 1, n)

5. Задача о раскрое материалов.

На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве A единиц. Требуется изготовить из него m разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам b_i (i = 1, m) – условие комплектности. Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, причем использование j-го способа (j = 1, n) дает a_ij единиц i-го изделия (i=1, m).

Необходимо найти план раскроя, обеспечивающее максимальное количество комплектов.

Обозначим x_j – число единиц материала, раскраиваемых j-ым способом,

k – число изготавливаемых комплектов изделий.

Так как общее количество материала равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, то x_j = A.

Требование комплектности выразится уравнениями

x_jּa_ij = b_iּk (i = 1, m)

Кроме того x_j ≥ 0 (j = 1, n)

6. Транспортная задача.

Одной из типичных задач линейного программирования является, так называемая, транспортная задача. Она возникает при планировании рациональных перевозок грузов. В одних случаях это означает определение такого плана перевозок, при котором их стоимость была бы минимальна, а в других - более важным является выигрыш во времени. Первая задача называется транспортной задачей по критерию стоимости, а вторaя - транспортной задачей по критерию времени.

Первая задача является частным случаем задачи линейного программирования и может быть решена симплексным методом. В силу особенностей этой задачи она решается проще.

Пусть в m пунктах отправления (А₁, А₂, …, А_m) находятся, соответственно, a_i (i=1, m) единиц однородного груза (запасы), который должен быть доставлен n потребителям (В₁, В₂, …, В_n) в количествах b_j (j=1, n) единиц (заявки). Заданы стоимости c_ij перевозок единицы груза из i-го пункта отправления j-му пункту потребления. Обозначим через x_ij ≥ 0 (i =1, m; j =1, n) количество единиц груза, перевозимого из i-го склада j-му потребителю; тогда переменные x_ij должны удовлетворять следующим ограничительным условиям:

1) x_ij = a_i (i = 1, m), (все запасы израсходованы);

2) x_ij = b_j (j = 1, n), (все заявки удовлетворены) (3.34)

3) x_ij ≥ 0.

Суммарные затраты на перевозки равны Ф = (с_ij·x_ij ).

Следовательно, требуется на множестве неотрицательных решений найти переменные x_ij, (i = 1, m; j = 1, n ), удовлетворяющих указанным условиям и минимизирующих целевую функцию Ф.

Математическая модель транспортной задачи обладает следующими особенностями:

а) система ограничений задана в виде уравнений (задача задана в канонической форме);

б) коэффициенты при переменных в системе ограничений равны единице или нулю;

в) каждая переменная входит в систему ограничений два раза: один раз в сумму по i и один раз в сумму по j;

Транспортные задачи, в которых выполняется условие a_i =b_j, то есть, суммарные запасы равны суммарным потребностям, называются закрытыми транспортными задачами (закрытая модель транспортной задачи). В противном случае задача называется открытой (открытая модель транспортной задачи).

А. Закрытая транспортная задача является частным случаем задачи линейного программирования и методы ее решения представляют собой компактные интерпретации общих методов линейного программирования. Наиболее эффективные методы решения транспортной задачи основаны на методе последовательного улучшения плана (симплексный метод) и на методе последовательного сокращения невязок (венгерский метод).

Специфичная форма системы ограничений данной задачи позволяет существенно упростить обычный симплексный метод. Модификациями симплексного метода применительно к закрытой транспортной задаче являются распределительный метод и его разновидности (метод северо-западного угла, метод минимальной стоимости, метод двойного предпочтения), а также метод потенциалов.

В. Открытая модель транспортной задачи имеет две разновидности:

а) суммарные запасы превышают суммарные потребности a_i >b_j;

б) суммарные потребности превышают суммарные запасы a_i <b_j;

Целевая функция одинакова в обоих случаях, изменяется только система ограничений.

Открытая задача решается приведением к закрытой модели.

В случае (а), когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, вводится фиктивный (n+1)-ый потребитель, потребности которого равны

b_n+1 =a_i - b_j.

В случае (б), когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, вводится фиктивный (m+1)-ый поставщик, запасы которого равны

a_m+1 = b_j - a_i

Стоимость перевозки единицы груза как до фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика полагают равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится. После преобразований задача принимает вид закрытой модели и решается обычным способом.

2.Транспортная задача по критерию времени заключается в минимизации времени перевозок. Выразим время Т через времена t_ij и объемы x_ij (от i–го поставщика до j–го поставщика). Так как все перевозки заканчиваются в тот момент, когда кончается самая длительная из всех перевозок, то время Т есть максимальное из всех времен t_ij ненулевых перевозок, то есть, T = max t_ij ,

^Xij>0

где символ х_ij>0 означает, что берется максимальное не из всех t_ij, а только из тех, для которых перевозки отличны от нуля.

Требуется, чтобы

Поставленная задача не является задачей линейного программирования, так как величина Т – нелинейная функция переменных х_ij. Эту задачу можно свести к решению задач линейного программирования, но не одной, а нескольких. А для непосредственного решения транспортной задачи по критерию времени применяется, так называемый «метод запрещенных клеток».