Учебное пособие по ТВ и МС

Формула (1.6) носит название формулы произведения вероятностей, а

само утверждение – теоремой умножения вероятностей. Она обобщается на случай произвольного числа событий:

Упражнение 1.5. Доказать формулу произведения вероятностей (1.7) методом математической индукции.

1.9. Формула полной вероятности и формула Байеса

Пример 1.12. Есть три завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом 1-й завод производит 25%, 2-й завод − 35% и 3-й завод − 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции 1-го завода, 3% от продукции 2-го и 4% от продукции 3-го завода.

Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти: а) вероятность купить бракованное изделие; б) условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено 1-м заводом, если это изделие бракованное.

Решение. Первая вероятность равна доле бракованных изделий в объеме всей продукции, то есть 0,05 0,25 + 0,03 0,35 + 0,04 0,4. Вторая вероятность равна доле брака 1-го заводасреди всего брака, то есть

0,05 0,25 . 0,05 0,25 + 0,03 0,35 + 0,04 0,4

Определение 1.6. Набор событий (называемых часто гипотезами) B1, … , Bn

называется полной группой событий или разбиением пространства Ω, если

n

∑ Bi = Ω и i ≠ j Bi IBj = .

i=1

Очевидно, что любые два противоположных события A и A образуют полную группу событий, т.е. P( A + A) = P(Ω) = 1.

21

Определение 1.8. События A1, … , An называются попарно независимыми,

если i ≠ j P(Ai Aj ) = P(Ai ) P(Aj ).

Замечание 1.7. Понятия взаимной независимости и попарной независимости набора событий не являются равносильными, а именно,

Взаимная независимость / Попарная независимость.

Первая импликация вытекает из определений 1.7 и 1.8, достаточно взять в равенстве (1.8) n = 2. Следующие два примера показывают, что события могут быть попарно независимыми, но зависимыми в совокупности.

Пример 1.14. Производится бросание двух костей. Рассмотрим следующие события:

A = {на первой кости выпало нечетное число очков},

B = {на второй кости выпало нечетное число очков}, C = {сумма очков – нечетна}.

События A, B, C – попарно независимые. Действительно,

P(A) = P(B) = P(C) = 12 , P(AB) = P(AC) = P(BC) = 14 .

Но независимости в совокупности нет, т.к.

Пример 1.15. (Пример С.Н. Бернштейна). Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены, соответственно, в красный, синий и зеленый цвета, а четвертая грань содержит все три цвета. Событие A (В,С) означает, что выпала грань, содержащая красный (синий, зеленый) цвета.

Вероятность каждого из этих событий равна 1/2, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырех. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, т.к. как только одна грань содержит два цвета. А т.к. 1/4 = 1/2 1/2, то все события попарно независимы.

Но вероятность пересечения всех трех тоже равна 1/4, а не 1/8, то есть события не являются независимыми в совокупности.

Заметим, что (1.8) выполнено для k = 2, но не выполнено для k = 3.

Пример 1.16. Важный пример независимых в совокупности событий возникает в схеме испытаний Бернулли. Как и в примере 1.6, рассмотрим события Ai = {i-е испытание закончилось «успехом»}.

24

для любого поднабора индексов {j1, … , jk} {1, … , n}. Следовательно, события A1, … , An независимы в совокупности. Поэтому, впредь мы будем говорить, что схема Бернулли является моделью последовательности независимых испытаний Бернулли.

Глава 2. Дискретные случайные величины и их распределения

Для дальнейшего необходимо ввести понятие дискретного вероятностного пространства. Мы будем называть дискретным вероятностным пространством либо конечное вероятностное пространство, определенное в § 1.2, либо счетное вероятностное пространство, которое мы определим ниже.

2.1. Счетное вероятностное пространство

Пусть Ω – счетное множество, то есть, бесконечное множество, элементы которого могут быть занумерованы натуральными числами:

Ω={ω1,ω2 ,K,ωn ,K} ={ωi }i N ,

афункция P, зависящая от ω Ω, удовлетворяет следующим условиям:

В этом случае говорят, что (Ω, P) – счетное вероятностное пространство.

Как и прежде, событиями будем называть любые подмножества множества элементарных исходов Ω: A Ω.

2.2. Дискретные случайные величины

Определение 2.1. Случайной величиной назовем произвольную функцию на множестве элементарных исходов: ξ : Ω → R, ξ = ξ(ω).

Множества вида {ω: ξ(ω) = x} Ω являются событиями. Иногда для них будем использовать более короткое обозначение: {ξ = x} =& {ω : ξ(ω) = x} .

Так как Ω – не более чем счетно, то случайная величина ξ принимает не более чем счетное число значений: x1, x2, … , xk, … .

25

Определение 2.2. Распределением дискретной случайной величины ξ назовем таблицу:

где pk = P{ω:ξ(ω) = xk } = P{ξ = xk }.

Замечание 2.1. Если k ≠ l, то {ξ = xk} ∩ {ζ = xl} = . Более того,

U{ω :ξ(ω) = xk } = Ω . Следовательно, ∑pk =1.

k k

2.3.Схема Бернулли

2.3.1.Распределение числа успехов в n испытаниях

Определение 2.3. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода – «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью р [0,1], «неудача» – с вероятностью q = 1 – р.

Определение 2.4. Бернуллиевской называют случайную величину, принимающую два значения:

Таким образом, ее распределению соответствует следующая таблица.

Предложение 2.1. (Формула Бернулли). Обозначим, через vn число успехов в n испытаниях схемы Бернулли. Тогда для любого k = 0,1,... , n

P(vn = k) = Pn (k) = Cnk pk (1 − p)n −k = Cnk pk qn −k .

Доказательство. Событие А = {vп=k} означает, что в п испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов (и, соответственно, (n−k) неуспехов). Рассмотрим один из благоприятствующих событию A элементарных исходов:

26

Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна pk (1−p)n−k.

Другие благоприятствующие событию A элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением k успехов на n

местах. Есть ровно Cnk способов расположить k успехов на n местах. Поэтому событие A состоит из Ck элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна pk (1−p)n−k.

Определение 2.5. Набор чисел P(vn = k) = Ckpk(1−p)n−k, k = 0,1,…,n

называется биномиальным распределением вероятностей и обозначается

Bn,p или B(n,p). Случайную величину с этим законом распределения называют биномиальной. Она означает, что в п испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов и (n−k) неуспехов.

Биномиальному распределению вероятностей соответствует таблица:

Определение 2.6. Будем говорить, что случайная величина Π имеет

пуассоновское распределение с параметром λ > 0, если она принимает целые неотрицательные значения со следующими вероятностями:

2.3.2. Наиболее вероятное число успехов

По формуле Бернулли, событие «произошло 0 успехов в п испытаниях» имеет вероятность qn, 1 успех − вероятность npqn−1 и т.д. Какое же число успехов наиболее вероятно? Иначе говоря, при каком k достигается максимум P(vn = k)?

Предложение 2.2. В n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятным числом успехов является

а) единственное число k0 = [np + p], если число np + p не целое; б) два числа k0 = np + p и k0 = np + p − 1, если число np + p целое.

27

Доказательство. Чтобы выяснить это, сравним отношение P(vn = k) и P(vn = k−1) с единицей:

Видим, что

(a) Р(vn = k) > Р(vn = k − 1) при np + p − k > 0, то есть при k < np + p; (b) Р(vn = k} < Р(vn = k − 1) при np + p − k < 0, то есть при k > np + p;

(c) P(vn = k) = P(vn = k − 1) при np + p − k = 0, что возможно лишь если пр + р − целое число.

Рассмотрим два случая: пр + р Z и пр + р Z. В первом случае пусть k0 = пр + р. Из полученных выше неравенств сразу следует, что

Во втором случае пусть k0 = [пр + р] (целая часть числа пр + р, то есть наибольшее целое число, не превосходящее пр + р). Из неравенств (а), (b) следует, что

Действительно, неравенство Р(vn = k0) > Р(vn = k0 − 1), например, следует из (b), примененного для k = k0 − 1 > np + p.

В зависимости от того, является число пр + р целым или нет, имеем либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов k0 = пр + р и k0 − 1 = пр + р − 1, либо одно «наиболее вероятное» число успехов k0 = [пр + р].

Замечание 2.1. В предложении 2.2 наиболее вероятное число успехов k0 можно находить из двойного неравенства

np − q ≤ k0 ≤ np + p .

Пример 2.1. Если p = q = 1/2, то при четном числе испытаний n число np + р = (п+1)/2 Z − не целое, так что наиболее вероятным является единственное число успехов [(п+1)/2] = n/2. Что совершенно понятно, так как есть нечетное число возможностей – получить 0,1, ... , п успехов, причем вероятности получить k и п−k успехов одинаковы.

28

При нечетном же числе испытаний п число пр + р = (п+1)/2 Z − целое, так что наиболее вероятными (и одинаково вероятными) являются два числа успехов (п+1)/2 и (п−1)/2.

Пример 2.2. Вероятность появления события A в каждом из n независимых испытаний равна 0,7. Сколько таких испытаний нужно произвести, чтобы наиболее вероятное число появлений события A в производимых испытаниях k0 = 20?

Решение. По условию p = 0,7 и q = 0,3. Тогда из замечания 2.1 получим

0,7n − 0,3 ≤ 20 ≤ 0,7n + 0,7 .

Это двойное неравенство равносильно системе неравенств

0,7n − 0,3 ≤ 20,0,7n + 0,7 ≥ 20.

Из первого неравенства системы имеем n ≤ 20,3/ 0,7 = 29 . Из первого неравенства системы найдем n ≥19,3/ 0,7 ≈ 27,57 . Отсюда следует, что необходимо произвести 28 или 29 испытаний.

2.3.3. Номер первого успешного испытания

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха p в одном испытании. Испытания проводятся до появления первого успеха. Введем величину τ,

равнуюномерупервогоуспешногоиспытания.

Предложение 2.3. Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером k N = {1, 2, 3,…}, равна P(τ = k) = pqk −1 .

геометрическим распределением вероятностей и обозначается Gp или G(p).

Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством «нестарения», заключающимся в следующем.

Пусть величина τ обозначает время безотказной работы (измеряемое целым числом часов) некоторого устройства. Предположим, что для величины τ вероятность принять любое свое значение k равна pqk−l, т.е. P(τ = k) = рqk−l

для любого k N. Тогда для произвольных n, k ≥ 0

29