5. Теорема про рівність класу Ліпшиця і класу Діціана і Тотіка.

Розглянемо клас Ліпшиця порядка :

Нехай функція , :

де

Зробимо заміну змінних. Нехай , де .

Функція .

За теоремою Джексона (2.1) існує тригонометричний поліном , порядку не вище , для якого справедлива оцінка:

Відомо, якщо функція – парна, то тригонометричний поліном– також буде парним. Тоді він матиме вигляд:

Доведемо, що поліном можна представити у вигляді:

Для доведення рівності (5.3) скористаємося відомими тригонометричними формулами:

Із формули (5.5) справедлива наступна лема.

З формули (5.4) та леми 5.1 отримаємо:

Рівності (5.6) доводить справедливість рівності (5.3).

Отже, виходячи із оцінки (5.1) та рівності (5.3), отримаємо наступне:

повернемося до заміни :

Далі, застосуємо обернену теорему Діціана і Тотіка:

Отже, ми довели наступне, що якщо , тодітакож. (5.10)

Доведемо це твердження у зворотній бік. Нехай відомо, що

Тоді, за прямою теоремою Діціана і Тотіка, існує поліном , для якого виконується нерівність:

Знову, вводимо заміну: , де .

З (5.11) одержимо

Застосувавши обернену теорему Бернштейна, отримаємо те, що

Тобто, показали, якщо , то(5.14)

Отже, можна зробити висновок. Із тверджень (5.10) і (5.14) випливає наступна рівність

.

Тобто ми довели, що клас Ліпшиця дорівнює класу Діціана і Тотіка.

Висновок

У дипломній роботі було розглянуто означення модуля неперервності та його властивості, а також властивості введені Діціаном і Тотіка. Були згадані такі теореми: теорема Джексона, узагальнена теорема Джексона, теорема Діціана і Тотіка, теорема С. Н. Бернштейна. Використовуючи властивості модулів неперервності і застосовуючи прямі і обернені теореми Джексона і Бернштейна та Діціана і Тотіка, у дипломній роботі встановлено зв’язок між класами Діціана-Тотіка і деякими класами, що задовольняють умову Ліпшиця.

Список використаної літератури

1. Натансон И. П. , Конструктивная теория функций./ И.П. Натансон // Москва, 1949, 687 с.

2. Стечкин С.Б., ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК СССР./С.Б. Стечкин // Серия математическая 15(1951) , 219 – 249.

3. Z. Ditzian and V. Totik, Moduli of smoothness. Springer, Berlin Heihelberg New York, 1993, 225 p.

4. Тиман А.Ф., Теория приближения функции действительного переменного./А.Ф.Тиман// Москва, 1960, 624 с.

^- множина усіх тригонометричних поліномів порядку не вище .

^–це клас, який складається із таких функцій, для яких , де не залежить від. Цей клас є проміжним між класом і усіма класами коли .

^Теорема. Якщо є тригонометричним поліномом порядку , то для його похідноїсправедлива оцінка