5.2. Теоретические сведения об электрическом поле.

Электростатическое поле – частный случай электромагнитного поля, создаваемого совокупностью неподвижных в пространстве электрических зарядов, которые также неизменны во времени. Изменяющееся электрическое поле неизбежно приводит к появлению магнитных полей из-за явления электромагнитной индукции. Так как диэлектрики не обладают магнитными свойствами, то вполне допустимо ограничиться рассмотрением действием на диэлектрик электрического поля.

Основными характеристиками электрического поля являются его напряженность и потенциал. Напряженность поля является векторной величиной, потенциал – скалярной, определяемой некоторым числом. Электрическое поле определено, если известно распределение напряженности поля и потенциала во всех точках этого поля.

Электрическое поле обладает способностью оказывать механическое воздействие на помещенный в него заряд, с силой, прямо пропорциональной величине этого заряда. В основу определения электрического поля положено его механическое проявление, описываемое законом Кулона – «Два точечных заряда взаимодействуют с силой, пропорциональной произведению зарядов и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними»

где - единичный вектор, направленный вдоль линии, соединяющей заряды.

Электрическое поле можно охарактеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий. Силовая линия определяет, как бы двигался весьма малый положительный заряд, не обладающий инерцией. Силовые линии начинаются на отрицательных зарядах и заканчиваются на положительных.

Эквипотенциальными называют поверхности, имеющие равный потенциал. пересечение эквипотенциальных поверхностей с секущей плоскостью дает нам эквипотенциальные линии.

Потенциал φполя можно определить как работу по переносу единичного положительного заряда из данной точки в точку с нулевым потенциалом. Точка с нулевым потенциалом выбирается произвольно.

Потенциал и напряженность поля связаны между собой общим уравнением

Электрическое поле является потенциальным. Это обозначает, что работа по перемещению заряда в этом поле не зависит от длины траектории, а определяется только координатами начальной и конечной точек траектории. В частности, работа по перемещению заряда по замкнутому контуру равняется нулю.

Для расчетов напряженности электрического поля, создаваемого системой зарядов, используют теорему Гаусса, которая формулируется следующим образом : поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности, деленное на произведение ε₀∙ε. Здесь ε – диэлектрическая проницаемость вещества, ε₀= 8,84∙10^-12Ф/м – электрическая постоянная.

Электрическое поле точечного заряда.

Теорему Гаусса удобно использовать для определения напряженности электрического поля, если через заданную точку легко провести поверхность, все точки которой будут в симметричных условиях относительно заряда. Такой поверхностью обычно является сфера для точечных зарядов или цилиндр для линейных зарядов (длинных проводников).

Вкачестве примера найдем напряженность поля, создаваемого точечным зарядом в точке, удаленной на расстояниеRот заряда. Через заданную точку проведем сферу с радиусомRи центром в точке расположения зарядаq. Вектор, изображающий элемент поверхности сферыdSперпендикулярен поверхности сферы и по направлению всегда совпадает с вектором напряженности электрического поляE. Если учесть, что напряженность поляEодинакова во всех точках сферы, тоEкак константу можно вынести за знак интеграла:

Найдем выражение для потенциала поля точечного заряда. Воспользуемся сферической системой координат. В силу сферической симметрии напряженность поля будет иметь только одну составляющую вдоль оси R. Из общего уравнения для определения потенциала следует, что

Электрическое поле заряженной оси.

Под заряженной осью понимают теоретически бесконечно длинный проводник. Заряд на единицу длины оси примем равным τ. Для нахождения напряженности поля в точке, расположенной на расстоянииrот оси, проведем через эту точку цилиндрическую поверхность так, чтобы ось этого цилиндра совпадала с заряженной осью. Из соображений симметрии ясно, что напряженность поля во всех точках цилиндрической поверхности будет одинаковой. Замкнутая поверхность образуется боковой поверхностью и двумя донышками цилиндра. На поверхности цилиндра вектор, изображающий элемент поверхности цилиндраdSперпендикулярен поверхности цилиндра и по направлению всегда совпадает с вектором напряженности электрического поляE. Поток вектораEчерез донышки цилиндра отсутствует, т.к. элемент поверхности донышка перпендикулярен вектору напряженности электрического поляE.

Используя теорему Гаусса получаем:

Мы вычисляем поверхность цилиндра единичной длины и используем заряд, приходящийся на ту же единицу длины.

Электрическое поле диполя.

Схематически электрический диполь изображен на рис.

В силу принципа суперпозиции определим потенциал точки aкак потенциал в поле двух точечных зарядов.

Если R>>l, то можно считатьR₁∙R₂=R².

Тогда получим выражение для потенциала точки ав следующем виде:

Воспользуемся сферической системой координат с центром в середине диполя.

Получим выражения для составляющих напряженности электрического поля:

Тогда напряженность поля в точке авычисляем как

Результирующая картина поля изображена на следующем рисунке.

Для понимания процессов в диэлектриках важно знать типичные распределения и значения полей. Наиболее часто используются модельные представления электродных систем, к которым с той или иной степенью приближения можно свести многие реальные электродные системы.

Это два типа полей: плоско – параллельное и радиально-цилиндрическое, или аксиальное. Ниже приводится описание этих полей и необходимые для расчета формулы.

Плоскопараллельное поле. Здесь эквипотенциальные поверхности (поверхности уровня) представляют собой параллельные плоскости. Напряженность поля будет одинаковой во всех точках. Практически такое поле можно наблюдать в плоских конденсаторах, если пренебречь влиянием краевых эффектов. Емкость плоского конденсатора можно вычислить какС= εε₀∙S/d. ЗдесьS– площадь пластин конденсатора,d– расстояние между пластинами.

Радиально-цилиндрическое поле. Эквипотенциальными в этом поле являются коаксиальные (имеющие общую ось) цилиндрические поверхности, а линии смещения располагаются в радиальном направлении. Распределение напряженности электрического поля; емкость цилиндрического конденсатора (а к такой конструкции сводится например коаксиальный кабель). ЗдесьL– длина конденсатора;R₂, R₁соответственно диаметры наружного и внутреннего цилиндров.