Дискрет мат Лабы / Л.р.№3ДПФ

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Владимирский государственный университет

имени Александра и Николая Григорьевича Столетовых

Кафедра радиотехники и радиосистем

Лабораторная работа №3

Дискретное преобразование Фурье

11 вариант

Выполнил студент Группы КТс-113:

Спеньков К.А.

Проверил:

Бернюков А.К.

Цель работы:

Практическое изучение прямых дискретных преобразований Фурье.

Подготовка к работе:

Задача по теме:

X(n)=1,1,0,1 Построить графики:

Решение:

1);

; ;

2)

; ;

3)

; ;

4)

; ;

X(n)	X(k)	Sx(k)	ψx(k)
0	3	3	0
1	1	1	0
2	-1	1	0
3	1	1	0

Контрольные вопросы:

1)При расчетах на ЭВМ дискретизация проводится как во временной, так и в частотной областях. В связи с этим для ДП конечной длины x(n), n=t/T  [0,N-1] и X(k), k=/  [0,N-1] по времени n и по частоте k используется пара дискретных преобразований Фурье :

прямое ДПФ ДП 0  k  N-1;

обратное ДПФ ДП X(k): 0  k  N-1;

где - оператор ДПФ; n, k - равноудаленные отсчеты по времени и частоте.

Размерности (объемы) массивов ДП{x(n)} и спектра{X(k)} одинаковы и равны N. Пара ДПФ - ОДПФ аналогична паре преобразований Фурье дискретизованного сигнала:

где - оператор Фурье;

.

Таким образом, коэффициенты ДПФ X(k) периодичны по частоте, а коэффициенты ОДПФ x(n) - периодичны по времени.

2) Свойства оператора :

1. Базисные функции в разложении ДПФ(ОДПФ) ортогональны, то есть:

N, если (k-l)=0, или кратно N;

0 в остальных случаях.

2.

3. - комплексное сопряжение.

4. - N- периодичность.

3)ДПФ отличается от спектра периодического сигнала.

Связь ДПФ и z-преобразования

Рассмотрим N точек на единичной окружности

_2/N z- плоскости с интервалом ₁=2/N.

В точке z_k=e^j(2N)k на единичной окружности

_k (|z_k|=1, _k=) z- образ ДП имеет вид:

Таким образом коэффициенты ДПФ Х(к) являются

₁ оценками z-преобразования ДП конечной длины

X(z_k) в N точках на единичной окружности z плоско

сти, равноотстоящих с интервалом_2/N, что

jz_Im соответствует дискретности частот с интервалом

k j . В произвольной точке к _k=к_,

k=0,1,...N-1,_k=k.

-j z_Re Иначе говоря, спектр ДП находится на единичной

окружности z-плоскости.

С помощью ДПФ можно вычислить значения спектра X(e^j) не только в точках _k=k/N, но и в любом числе точек. Достаточно дополнить заданный массив нулевыми отсчетами.

Таким образом, коэффициенты {X(k)},k=0,1,...,N-1 являются выборками непрерывного спектра X(e^j) дискретизованного сигнала {x(nT)}. Число выборок не ограничено.

4) Разновидности дискретных спектров ДП x(n), nN-1]

1. Амплитудный спектр ДП x(n), n=0, 1, ..., N-1. X_Re(k)

x(n) S_x(k) P_x(k)

0 1 2 3 4 5 N . . . n F₊₁ -2 -1 0 1 2 3 4 5 N k

-2 -1 0 1 2 ДПФ -2 -1 0 1 2

_x(k)

Амплитудный спектр S_x(k) - функция четная относительно середины интервала задания (0 или N/2) (т.к. X_Re(k)=X_Re(-k), S_x(N/2-k)=S_x(N/2+k)) и инвариантная к сдвигу:

x(n) X(k) S_x(k); .

2. Фазовый спектр ДП:

- функция нечетная относительно середины интервала задания (0 или N/2), инвариантная к умножению на константу

(x(n)_x(k) и ax(n)_x(k), а=const).

3. Спектр мощности ДП x(n), n=0, 1, ..., N-1.

P_x(k) - функция четная относительно середины интервала задания, инвариантная к сдвигу, т.к. при сдвиге x(n) изменяется только фазовый спектр, а спектр |X(k)|²=P_x(k), k=0, 1, ..., N-1 неизменен.

Спектр мощности характеризует мощность спектральных компонент X(k), так как согласно теореме Парсеваля, энергия сигнала в частотной области равна энергии во временной области:

Ход работы: