§8. Уравнения четвёртой степени.

Уравнение четвёртой степени x⁴+ax³+bx²+cx+d=0 (1) можно решить методом Феррари. Левая часть уравнения (1) раскладывается на два множителя второй степени, которые последовательно приравниваются к нулю. Для нахождения такого разложения левую часть представляют как разность квадратов.

Рассмотрим один из вариантов разложения левой части (4) на множители. Перенесём три последних члена уравнения (1) в правую часть. Тогда уравнение (1) перепишем в виде x⁴+ax³=– bx²–cx–d + a²x²/4 и прибавим к обеим частям уравненияa²x²/4,для того, чтоб получить в правой части полный квадрат:. Прибавим к обеим частям полученного уравнения выражение, зависящее от параметраy, чтобы получить в обеих частях уравнения полные квадраты:. (2)

Правая часть уравнения будет полным квадратом, если, рассматривая её как уравнение второй степени , она будет иметь два совпадающих корня, т. е. когда дискриминант этого уравнения равен нулю:D=b²–4ac=0. (*) Чтоб найтиyнужно решить уравнение третей степени (*). При этом достаточно найти хоть один кореньy₀. Подставим его в уравнение (2), которое преобразуется в. Откудаили

Левая часть (3) представляет разложение левой части (1) на множители. Из (3) имеем . (3) Решая квадратные уравнения (3), найдём все четыре корня исходного уравнения (1). Итак, решение уравнения четвёртой степени сводится к решению одного уравнения третей степени и двух уравнений второй степени.

Пример 1. Решить уравнение:x⁴+2x³+5x²+6x+9=0

Решение. Переносим в правую часть уравнения все члены, степень которых не превышает двух:x⁴+2x³=–5x²–6x–9. Если к обеим частям последнего уравнения прибавитьa² x²/4= x², то в левой части получится полный квадрат: (x²+x)²=–4x²–6x–9. Теперь к обеим частям получившегося уравнения прибавляем (x²+x)y+1/4y². От этого левая часть не перестанет быть полным квадратом и примет вид: (x²+x+1/2y)²= (y–4)x²+(y–6)x+(1/4y²–9) (*) Возьмём теперьyтаким, чтобы и правая часть уравнения (*) стала полным квадратом. Для этого потребуем, чтобыD=b²–4ac=0(y–6)²–4(y–4) (1/4y²–9)=0(y–6)²– (y–4) (y²–36)=0.

Замечаем, что одним из корней являетсяy₀=6. Подставим его в (*). Получим (x²+x+3)²= 2x².Это уравнение распадается на два квадратных уравнения:x²+(1+)x+3 =0x²+(1–)x+3 =0. Решая квадратные уравнения, получаем все четыре корня данного уравнения четвёртой степени:x_1,2=,x_3,4=

Ответ: x_1,2=,x_3,4=

Пример 2. Решить уравнение:x⁴–2x³–6x²–26x–15=0

Решение.x⁴–2x³=6x²+26x+15+ x²(x²–x)²=7x²+26x+15+(x²–x)y+y²/4(x²–x+y/2)²=(7+y)x²+(26–y)x+(15+y²/4) (*) Возьмём теперьyтаким, чтобы и правая часть уравнения (*) стала полным квадратом. Для этого потребуем, чтобыD=b²–4ac=0(26–y)²–4(7+y)(15+y²/4)=0y³+6y²+112y–256=0.

Замечаем, что одним из корней являетсяy₀=2. Подставим его в (*). Получим (x²– x+1)²=9x²+24x+16(x²– x+1)²=(3x+4)²Это уравнение распадается на два квадратных уравнения:x²–4x–3=0,x²+2x+5=0. Решая квадратные уравнения, получаем все четыре корня данного уравнения четвёртой степени:x_1,2=,x_3,4=–12i.

Ответ:x_1,2=,x_3,4=–12i.

Пример 3. Решить уравнение:x⁴–2x³+2x²+4x–8=0

Решение.x⁴–2x³+2x²+4x–8=0x⁴–2x³=–2 x²–4x+8+ x²(x²–x)²=–x²–4x+8+(x²–x)y+y²/4(x²–x+y/2)²=( y–1)x²+(–4–y)x+(8+y²/4) (*) Возьмём теперьyтаким, чтобы и правая часть уравнения (*) стала полным квадратом. Для этого потребуем, чтобыD=b²–4ac=0(–4–y)²–4(y–1)(8+y²/4)=0y³–2y²+24y–48=0.

Замечаем, что одним из корней являетсяy₀=2. Подставим его в (*). Получим (x²– x+1)²=x²–6x+9(x²– x+1)²=(x–3)².Это уравнение распадается на два квадратных уравнения: