§7. Уравнения третьей степени.

Уравнение третьей степени x³+ax²+bx+c=0 (1) подстановкойx=y–приводится кприведенному кубическому уравнению y³+py+q=0. (2) Корни такого уравнения можно найти по формулам Кардано:y=u+v=, (3) гдеu=,v=и они связаны соотношениемuv=. (4) С учётом (4) формулу Кардано (3) можно использовать и в таком виде:y=u, гдеu=. (5) Здесь можно брать любое (одно из двух) значение квадратного корня; три значе­ния кубического корня дают три корня приведенного уравнения (2). Заметим, чтоu0, еслиp0; еслиp=0, то никакая специальная формула не нужна (имеемдву­членное уравнение).

Чтобы не запоминать формулу, можно пользоваться методом решения, по сути повторяющим вывод формул Кардано. Чтобы найти корни уравнения (2) (считаем р0), пологаяy=u+v, подставляем его в уравнение: (u+v)³+p(u+v)+q=0. Раскрыв скобки, и перегруппировав члены, получим: (u³+v³+q)+( 3uv+p)(u+v)=0. Для уничтожения второго слагаемого подберёмu, vтак, чтобы 3uv+p=0 илиuv=. Тогда уравнение (2) приводится к системе уравнений:Замечаем, чтоu³,v³– корни квадратного уравненияz²+qz=0.

Затем, выбираем один (любой) корень z₁этого квадратного уравнения. Бе­рём в качествеu₁одно (любое) значение кубического корня изz₁и вычисляем корни кубического уравнения (1) по следующей схеме: u₁, v₁=,y₁=u₁+v₁,x₁=y₁–;u₂= u₁₁, v₂= v₁₂,y₂=u₂+v₂,x₂=y₂–;u₃= u₁₂, v₃= v₁₁,y₃=u₃+v₃,x₃=y₃–; где_1,2= невещественные кубические корни из единицы. Заметим, что₂=(₁)²=и₁=(₂)²=, это позволяет варьировать нахождениеu₂, v₂, u₃, v₃.

При исследовании уравнений третьей степени используют теорему:

Теорема. Пустьx³+px+q=0 неполное кубическое уравнение с действи­тельными коэффициентами. Обозначим ∆=.

1. Если ∆>0, то уравнение имеет один действительный и два мнимых со­пряжённых корня.

2. Если ∆=0, то корни уравнения действительны и хотя бы один из них кратный.

3. Если ∆<0, то все корни действительны и различны.

Если не все коэффициенты уравнения (2) действительны, то для упроще­ния вычислений можно вычислить ∆. Если ∆=0 (p0,q0), тогда уравнение (2) имеет два равных корняy₂=y₃, и в этом случае корни уравнения (2) можно найти, не прибегая к извлечению корней второй и третьей степени, а именноy₁=; y₂=y₃=. (6) Если же ∆0, то уравнение (2) имеет три различных корня, для нахождения кото­рых, используют один из вышеописанных способов.

Пример 1. Решить уравнение:

x³–6x+9=0.

Решение.Уравнение приведенное (отсутствует член сx²). Используем модифицированную формулу Кардано (5): ∆===>0.(берём только одно значение квадратного корня). Тогдаu=. Одно из значенийестьu₁=–1, ещё два значения получим, умножаяu₁на_1,2 – кубические корни из единицы. Итак, u₁=–1 , x₁= u₁–=–1–=–3; u₂= u₁₁=–₁, x₂= u₂–=–₁+=–₁–2/₁= =–₁–2₂=. Так как коэффициенты данного уравнения действительны и ∆>0, тоx₃=(x₃не нужно вычислять по формуле).

Ответ:x₁=–3, x₂,₃=.

Пример 2. Решить уравнение:x³+9x²+18x+28=0.

Решение. Сделаем подстановкуx=y–=y–3. Получим уравнениеy³–9y+28=0. Полагаемy=u+v: (u+v)³–9(u+v)+28=0, (u³+v³+28)+(3uv–9)(u+v)=0. Откуда, или, гдеu³,v³– корни квадратного урав­ненияz²+28z+27=0.

Один из корней последнего уравнения z₁=–1, тогдаu₁=–1, v₁==–3,y₁=–4,x₁=–7;u₂= u₁₁=,v₂= v₁₂=,y₂=,x₂=; Поскольку коэффициенты уравнения действительны и ∆>0, тоx₃=.

Ответ: x₁=–7, x₂,₃=.

Пример 3. Решить уравнение:x³+3x–2i=0.

Решение. Данное уравнение приведенное, и не все его коэффициенты дей­ствительны, поэтому вычислим ∆. ∆===–1+1=0 Таким образом корни уравнения можно вычислить по формулам (6).x₁==; x₂=x₃==.

Ответ: x₁=–2i, x₂,₃=i.

Пример 4. Решить уравнение:x³–3abx+ a³+b³=0

Решение. Пологаяx=u+v, получим (u+v)³–3ab(u+v)+ a³+b³=0 или (u₃+v₃+ a³+b³)+(3uv–3ab)(u+v)=0. ОткудаОдно из решений последней системы

Тогда u₁=–a, v₁=–b, x₁=–a–b; u₂= u₁₁=, v₂= v₁₂=, x₂=.

Ответ: x₁=–a–b, x₂,₃=.

Замечание: При выписывании ответа воспользовались тем, что при веще­ственныхa,bне надо вычислять x₃. Но если выписанное значениеx₃есть корень уравнения при (любых) вещественныхa иb, то ясно, чтоx₃ будет корнем при лю­быхa,b.

Для самостоятельного решения.

Решить уравнения:

1. x³+6x²–12x+32=0

2. x³+9x²–18x+44=0

3. x³–3x²–6x+36=0

4. x³–12x²+24x–40=0

5. x³–6ix+4(1–i)=0

6. x³+(3–3i)x–9=0

7. x³+3ax+1–a³=0

Ответы:

1. (–8; )

2. (–11; )

3. (–3; )

4. (10; )

5. (2+2i; –1–i; –1–i)

6. (i;

7. (a–1;