1.5. Потоки отказов и восстановлений

Отказ и восстановление – это два противоположных случайных события. На практике, в эксплуатации и при испытаниях, эти события регистрируются во времени. Отрезки времени между этими событиями являются случайными величинами, которые также характеризуют вероятность отказа.

Под потоком событий понимается последовательность событий, происходящих одно за другим, в какие-то моменты времени t. События, образующие поток, могут быть и различными. Будем рассматривать потоки ординарных событий, различающихся только моментами их появления. Графически поток отказов и восстановлений можно представить в виде бесконечно коротких импульсов при «мгновенном» восстановлении (рис.1.10, а), либо в виде прямоугольных импульсов при конечном времени восстановления (рис. 1.10, б).

На рис. 1.8 обозначено: – промежуток времени непрерывной работы между отказами;– промежуток времени, затрачиваемого на восстановление;– время между отказами. Число отказов для каждого фиксированного значения; число восстановлений для каждого фиксированного;– случайные величины.

Эмпирическая вероятность отказа за любой отрезок времени. t₀ подсчитывается как отношение суммы всех t_0i, меньших t₀, к сумме всех t_0i, полученных во время испытаний:

.

Аналогично определяется эмпирическая вероятность восстановлений за промежуток времени t_B:

.

Ряд таких эмпирических оценок даёт представление о функциях распределения случайных величин и, характеризующих вероятности случайных событий отказа и восстановления.

Характеристики функций распределения случайных величин ,и (+) полностью описывают надежность восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий с вероятностной точки зрения. Однако для получения этих характеристик на практике требуется очень большой объем наблюдений. Поэтому во многих случаях ограничиваются числовыми характеристиками, которые легче получить из эксперимента и которые достаточно полно характеризуют надежность для практических целей.

Рис. 1.10. Поток отказов и восстановлений при нулевом (а) и конечном (б) времени восстановления

Фундаментальнее значение в теории надежности имеет функция восстановления H(t), которая равна математическому ожиданию числа восстановлений за интервал времени [0,t]:

где – вероятность появления в промежутке [0,t] равно k восстановлений.

Для процессов с «мгновенным» временем восстановления функция восстановления обозначается и называетсяфункцией отказов. Она представляет собой математическое ожидание числа отказов на интервале [0,t]:

Важной характеристикой потока является мгновенный параметр потока , определяемый пределом:

(1.1)

где – вероятность появления на промежутке ровно событий; – вероятность появления на промежутке не менее событий; – среднее число событий на промежутке .

Параметром, потока отказов называется среднее число отказов восстанавливаемого объекта в малом единичном интервале работыоколо моментаt.

Наработкой в теории надёжности называют продолжительность или объем работы оборудования, измеряемые в часах, километрах, циклах, кубометрах или других единицах.

Понятие «мгновенная интенсивность потока» вводится для невосстанавливаемых объектов, которые могут иметь только одно нарушение работоспособного состояния. Классическим примером такого объекта является электрическая лампочка. Интенсивность потока отказов – условная плотность распределения наработки невосстанавливаемого объекта до отказа в малом единичном интервале около момента t при условии, что до этого момента отказ не возник:

(1.2)

Восстанавливаемые объекты, какими являются ЭЭС и составляющие их элементы, за время эксплуатации могут иметь много отказов, после которых происходит восстановление их работоспособности. Поэтому для них понятие интенсивности теряет смысл, так как само условие «отказа до моментаt не было» не выполняется – отказы были и были после них восстановления работоспособности, и объекты продолжали работать.

Использование понятия интенсивности отказов для восстанавливаемых объектов возможно, и его часто используют, но при условии, что объект в определенные периоды эксплуатации рассматривается как невосстанавливаемый (например, в период до первого отказа) или после восстановления работоспособности до следующего отказа. Об этом иногда забывают, что приводит к терминологической путанице [3,5].

Потоки событий обладают целым рядом свойств. Наиболее простым является свойство ординарности потока, когда вероятность совмещения двух или более событий в один и тот же момент времени настолько мала, что практически такое совмещение является невозможным, т.е.

.

Для ординарных потоков выражения (1.1) и (1.2) упрощаются и принимают вид

,

где – вероятность появления на промежутке одного отказа; – условное обозначение бесконечно малой величины более высокого порядка малости, чем .

Поток событий является стационарным, если его вероятностный режим не изменяется во времени, т.е. если вероятность появления К отказов на отрезке времени зависит только от. Для стационарного потока и интенсивность потока, и параметр потока, не зависят от времени:;. Если поток событий к тому же иординарный, то и .

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непрерывающихся интервалов времени число событий, появляющихся в один из них, не зависит от числа событий, появляющихся в другие интервалы.

Ординарные потоки без последействия называются пуассоновскими потоками. Такое определение связано с применением для вычисления вероятности наступления k событий за время t формулы Пуассона

.

Пуассоновские потоки могут быть как стационарными, так и нестационарными. Если оборудование или установка состоят из большого числа элементов, каждый из которых может отказать лишь с малой вероятностью и эти отказы взаимно независимы, то суммарный поток отказов может считаться близким к простейшему, т.е. обладающему одновременно всеми тремя свойствами – стационарности, без последействия и ординарности.

Нестационарность потока отказов у отдельных типов электроэнергетического оборудования вызывается наличием периода приработки, когда выявляются скрытые дефекты изготовления и монтажа, и наличием старения изоляции, износа и разрегулировки механических частей. Высоковольтное оборудование имеет, кроме того, сезонную нестационарность, связанную с воздействием гроз или гололёда.

Для нестационарного пуассоновского потока

.

Для стационарного потока .

Закон Пуассона записывается в виде

.

Вероятность отсутствия событий за время t (k=0)

. (1.3)

Это экспоненциальное распределение. Формула (1.3) показывает вероятность безотказной работы R(t) в случае рассмотрения потока отказов.

Вероятность отказа определяется как

, (1.4)

т.е. закон распределения времени безотказной работы –экспоненциальный, с параметром . ФункцииQ(t) и P(t) (или R(t)) имеют вид, представленный на рис. 1.10.

Закон (1.4) имеет свойство, заключающееся в том, что вероятность безотказной работы не зависит от времени предшествующей работы, а зависит только от рассматриваемого интервала времени. Это значит, что будущее поведение элемента или объекта не зависит от прошлого, если он в настоящий момент работоспособен. Это свойство является характеристическим, т.е. для объекта с таким свойством закон распределения времени безотказной работы – экспоненциальный, а поток отказов – простейший.

Рис. 1.11. Вероятность отказа и безотказной работы при экспоненциальном законе распределения наработки до отказа

В теории надёжности поток восстановлений характеризуется по аналогии с потоком отказов следующими характеристиками:

1) вероятностью восстановления за время t

;

2) вероятностью невосстановления за время t

;

3) средним временем восстановления

;

4) интенсивностью восстановления

.

Электроэнергетические установки относятся к восстанавливаемым техническим системам. После отказа установки или её оборудования следует восстановление. Под восстановлением понимается обнаружение повреждения или неисправности и их устранение. Случайная величина времени восстановления складывается из двух составляющих:

,

где – время на обнаружение неисправности;– время на устранение неисправности или ремонт.

Закон распределения случайной величины для различного оборудования может быть описан экспонентной,гамма-функцией или функцией распределения Вейбулла.

Экспоненциальный закон распределения времени восстановления справедлив при следующих условиях: 1) когда восстановление связано с рядом попыток, каждая из которых приводит к необходимому результату с какой-то вероятностью; 2) когда плотность распределения времени восстановления убывает с возрастанием аргумента.

Обнаружение неисправности в электротехнической установке осуществляется, как правило, рядом последовательных проверок и удовлетворяет первому условию. Второму условию соответствует требование быстрого восстановления основной массы отказов. Значительные задержки в восстановлении в энергосистемах наблюдаются относительно редко, что подтверждается аварийной статистикой.