2.4. Проверка однородности статистического материала

и гипотез о законе распределения случайной величины

Проверка однородности статистического материала. Для более точного определения показателей: надёжности и установления видов законов распределения наработки на отказ и других случайных величин необходимо объединять статистические данные, собранные на различных объектах промышленных предприятий и энергосистем.

В связи с этим возникает задача проверки однородности статистического материала.

Помимо выборки имеются взаимно независимые величины, распределённые одинаково и непрерывно, но принадлежащие другой выборке. Объединим эти совокупности, расположив их в порядке возрастания значений. Обозначим– функция эмпирического распределения, соответствующая выборке. Основная гипотеза, подлежащая проверке, заключается в предположении, что обе выборки извлечены из одной и той же совокупности, а значения функции распределения величинх и х' одинаковы. Эту гипотезу можно выразить тождеством

,

где – функция эмпирического распределения, построенного на выборке. Для проверки нулевой гипотезы используется критерий Вилкоксона, основанный на числеинверсий, под которыми понимается следующее: если какому-либо значению х предшествует некоторый , то говорят, что эта пара дает инверсию.

Гипотеза отвергается, если сумма инверсий , гдеk – число инверсий, превосходит выбранную в соответствии с уровнем значимости границу, определяемую из расчёта, что при объёмах ивыборок число инверсийраспределено по нормальному закону с центром

(2.1)

и дисперсией

(2.2)

Пример. Собраны статистические сведения о повреждаемости воздушных ЛЭП (ω, откл./год) в двух энергосистемах.

Энерго-система	Обозна-чение	Месяцы
		я	ф	м	а	м	и	и	а	с	о	н	д
1		0,8	1,9	3,0	3,5	3,8	2,5	1,7	0,9	1,0	2,3	3,3	3,4
2		1,4	2,1	3,1	3,6	2,7	1,8	1,1	0,2	1,6	2,8	4,0	4,7

Требуется определить, можно ли считать, что между данными о повреждаемости ЛЭП в разных энергосистемах нет систематических расхождений, и что они имеют одинаковые систематические погрешности, т.е. нужно проверить нулевую гипотезу .

Решение. Располагаем данные в общую последовательность в порядке возрастания повреждаемости:

0,2	0,8	0,9	1,0	1,1	1,4	1,6	1,7	1,8	1,9	2,1	2.3
2,5	2,7	2,8	3,0	3,1	3,3	3,4	3,5	3,6	3,8	4,0	4,7

Число инверсий для равно

По формулам (2.1) и (2.2) находим

Задавшись уровнем значимости критерия и учитывая, что обе энергосистемы являются равноправными, строим критическую область больших по абсолютной величине отклонений, используя табличное значение.

Критическая область для гипотезы

Полученное значение инверсии не лежит в критической области, поэтому гипотеза не опровергается и нет оснований считать энергосистемы существенно различающимися по аварийности ЛЭП.

Проверка гипотез о законе распределения случайной величины. Простейший способ проверки – графический. Построение функции распределения случайной величины проводится на вероятностной бумаге, своей для каждого вида распределения. Если координаты наблюдаемых точек лежат вблизи прямой линии, проходящей через область их расположения, то выдвинутая гипотеза о виде закона распределения не отвергается.

Критерий А. Н. Колмогорова. При использовании этого критерия необходимо иметь значения теоретической и экспериментальной функций распределения для некоторого числа n значений аргумента. Далее определяется максимальное расхождение между теоретическими и опытными данными (рис. 2.2)

,

где и– опытное и теоретическое значения интегральной функции распределения.

Колмогоров доказал, что по значению , вычислив величину

,

можно по соответствующей таблице оценить вероятность случайного получения подобного значенияу.

Взадачах электроэнергетики если, то опытная и теоретическая функции хорошо согласуются; если, то наблюдаемое отклонение не случайно.

Рис. 2.2. Оценка величины расхождения опытных данных

и теоретического распределения вероятностей

Необходимо отметить, что критерий Колмогорова предполагает известным из каких-либо предварительных предпосылок теоретического характера вид теоретического закона распределения исследуемой случайной величины.

Пример. Проверим соответствие гипотезы об экспоненциальном распределении данных о поврежденных ЛЭП 220 кВ. Исходные данные: – время безотказной работы,– количество наблюдений. Необходимые расчёты сведены в табл.2.1, где обозначено:;.и– эмпирическая и теоретическая функции распределения.

Таблица 2.1

1	0,091	1	0,143	0,143	0,265	0,310	0,122
2	0,143	1	0,143	0,286	0,385	0,488	0,099
3	0,167	1	0,143	0,429	0,435	0,570	0,006
4	0,200	2	0,286	0,715	0,495	0,682	0,220
5	0,250	1	0,143	0,858	0,575	0,853	0,283max
6	1,0	1	0,143	1,000	0,965	3,143	0,035

Максимальному отклонению присоответ-ствует

.

По таблице значений критерия Колмогорова приимеем(с аппроксимацией). Эта вероятность достаточно велика, чтобы считать отклонение действительно случайным, а гипотезу об экспоненциальном законе распределения не противоречащей полученным данным.

Критерий Пирсона. Пусть проведено n независимых опытов, в каждом из которых случайная величина X приняла определённое значение, и на основании наблюдений вычислены частости , гдеm_i – число зарегистрированных значений случайной величины, попадающих в i-й интервал или принимающих i-е значение. Всего r интервалов. В каждом интервале должно быть не менее 5...10 значений.

Из каких-либо положений теоретического характера высказывается предположение о виде закона распределения случайной величины и дается теоретическая оценка частостей Пирсон показал, что величина

(2.3)

распределена по закону χ² с числом степеней свободы k, которое равно числу интервалов r и определяется как , где– число независимых условий, связей. Обычно их три: