3.3. Модели надёжности установок с профилактикой

Чтобы по возможности отдалить момент отказа оборудования, его подвергают периодическому предупредительному ремонту. Разработана специальная система планово-предупредительных ремонтов (ППР). Однако предупредительный ремонт не имеет смысла, если . А еслиубывает, то такой ремонт не нужен. Ремонтируют только работающие элементы; если элемент отказывает, его не ремонтируют.

Обозначим: – периодичность ремонта. Тогда плотность распределения вероятностей для случайной величины – наработки на отказ – в предположении идеального мгновенного ремонта (идеальный ремонт восстанавливает работоспособность в полной мере, и показатели надежности можно считать такими же, как у нового изделия):

где k – номер предупредительного ремонта; – плотность распределения вероятностей срока службы некоторого элемента.

Графическое представление плотности распределения вероятностей с учётом эффекта от предупредительного ремонта приведено на рис. 3.10. Каждый участок кривой, заключённый междуи, эквивалентен предыдущему, характеризуемому, где– функция надежности элемента, представляющая собой отношение числа работоспособных элементов в начале и в конце участка.

Рис.3.10. Плотность распределения вероятностей срока службы элемента с периодическими предупредительными ремонтами

Обе огибающие функции представляют собой экспоненциальные кривые. Это следует из того, что общий характер поведения плотностиопределяется геометрической прогрессией.

Пример 6. Рассмотрим элемент с равномерным распределением срока службы пригода и периодичности предупредительных ремонтовгод.

Тогда

откуда , т.е. число работоспособных элементов в конце периодасоставляет 75 % числа работоспособных элементов в начале периода(рис. 3.10).

Зависимость интенсивности отказов (рис. 3.11) пригод:.

Кривая получается при повторении кривойна каждом участке.

На рис.3.11 приведена экспоненциальная кривая, вокруг которой осциллирует действительная кривая ; средняя интенсивность отказов:

.

Средняя наработка на отказ года.

Рис.3.11. Эффект мгновенного предупредительного ремонта

3.4. Модели надёжности установок с восстановлением

и профилактикой

При отсутствии предупредительного ремонта наработка на отказ составила бы

,

что почти вдвое меньше начального значения. При этом .

Таким образом, безотказность элемента существенно увеличивается при условии идеального мгновенного ремонта или замены. Кроме того, предупредительный ремонт приводит распределение времени безотказной работы из любой исходной формы к экспоненциальной и любую кривую роста интенсивности отказов заменяет на пилообразную с весьма небольшим размахом. Это позволяет в расчётах принимать допущение .

Идеальный аварийный ремонт. Практическим приближением к идеальному аварийному ремонту можно считать положение, когда каждый элемент в случае отказа заменяется новым, а сам процесс замены занимает пренебрежимо малое время. Основное различие между идеальным аварийным и идеальным предупредительным ремонтом состоит в том, что предупредительный ремонт производится в заранее заданные моменты времени, а аварийный ремонт (замена) всегда следует за отказом.

Пусть, как и ранее, срок службы элемента описывается его плотностью распределения вероятностей , а плотность распределения вероятностей до первого отказа –, совпадающей с. Аналогично плотность распределения вероятностей времени до второго отказаи времени доk-го отказа :

(3.10)

(3.11)

Если , то промежутки времени между отказами распределеныэкспоненциально. При этом допущении процесс описывается распределением Пуассона и k-е время ожидания соответствует времени до k-го отказа, следовательно,

(3.12)

Подставляя (3.12) в (3.11) получим

.

Идеальный аварийный и предупредительный ремонты. Важным эффектом предупредительного ремонта является увеличение средней наработки до отказа. В случае идеального аварийного ремонта этот результат сводится к тому, что для элементов с возрастающей интенсивностью отказов регулярное проведение предупредительных ремонтов приводит к уменьшению частоты аварийных ремонтов. Среднее значение параметра потока отказов

. (3.13)

Рассмотрим продолжение процесса предыдущего примера, где в дополнение к регулярному предупредительному ремонту после каждого отказа проводится идеальный аварийный ремонт.

Функцию вычисляем по (3.11), гдеполучаются путем последовательного применения (3.10) к функциидлягода:

.

Следовательно,

.

В соответствии с (3.13) получим

.

При год частота предупредительных ремонтов, а средний параметр потока отказов (идеальных аварийных ремонтов).

Отметим, что интенсивность отказов без предупредительных ремонтов (только идеальный аварийный ремонт). Средняя интенсивность отказов при идеальном предупредительном ремонте.

Положительное влияние предупредительных ремонтов на уменьшение частоты аварийных ремонтов выражено весьма чётко. Если стоимость предупредительного ремонта того же порядка, что и аварийного, то предупредительный ремонт может оказаться экономически неоправданным. Если стоимость предупредительного ремонта меньше, чем суммарная стоимость аварийного ремонта и ущербов от аварии, то предупредительный ремонт может быть оправдан и экономически. При этом периодичность его можно оптимизировать по критерию минимума ежегодных затрат, включая ущерб от аварий:

. (3.14)

Условие (3.14) адекватно критерию минимума удельных затрат:

. (3.15)

Величину можно интерпретировать как отношение затрат длительностей

Из (3.15) следует равенство

,

дифференцируя которое по и приравнивая производную нулю, получим условие оптимума

. (3.16)

Значение , удовлетворяющее (3.16), является оптимальным. Для рассматриваемого примера определимпри условии=0,2. Затраты

Уравнение (3.16) принимает вид

.

Его решение: , следовательно, общие затраты на предупредительный и аварийный ремонты будут минимальными (при принятых условиях), если предупредительный ремонт проводить каждые 2,11 года.