3.2. Модели надёжности установок с восстановлением

При экспоненциальном законе распределения времени восстановления и времени между отказами для расчёта показателей надёжности установки с восстановлением пригоден математический аппарат марковских случайных процессов [14,16].

Дискретный случайный процесс называется марковским, если все вероятностные характеристики будущего протекания этого процесса (при ) зависят лишь от того, в каком состоянии этот процесс находился в настоящий момент времени, и не зависят от того, каким образом этот процесс протекал до момента времени(в прошлом). Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через «настоящее». Поэтому определение марковских процессов как процессов без последействия не означает полной независимости от прошлого. Установлено, что если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являютсяпуассоновскими, то случайный процесс переходов будет марковским, с непрерывным временем.

Один элемент электротехнической (энергетической) установки или сама установка могут находиться в двух состояниях:

1) – установка работоспособна;

2) – установка неработоспособна.

Если  – интенсивность отказов (ч^-1), а µ – интенсивность восстановления (ч^-1), то граф переходов из состояния в состояние с обозначением вероятностей переходов за время dt имеет вид, представленный на рис.3.5.

Рис.3.5. Граф переходов для системы из двух состояний

Существует правило для составления дифференциальных уравнений переходов, соответствующих этому графу. В левой части каждого уравнения стоит производная , а в правой части столько членов, сколько ребер непосредственно связано с данным состоянием. Если ребро графа ведет в данное состояние, член уравнения имеет знак «+», если ведет из данного состояния – знак «-». Каждый член уравнения равен плотности потока событий, переводящего систему из одного состояния в другое, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит ребро. В наших условиях– вероятность застать установку в состоянии,– в состоянии.

Тогда

,

.

При начальных условиях ,и при условии, что состоянияипредставляют собой полную группу событий, т.е., решение системы (3.2) имеет вид

,

.

При мгновенном автоматическом восстановлении ,. При отсутствии восстановления,– вероятность безотказной работы.

При достаточно большом наступает стационарный режим работы системы (рис.3.6) с вероятностью состояний

(3.3)

Величина

называется коэффициентом готовности (см. п.1.6).

Следует отметить, что при отсутствии резервирования восстановление повышает надежность только в отношении готовности, вероятность безотказной работы при этом не увеличивается.

Рис.3.6. Зависимость вероятности работоспособного состояния от времени

при различной интенсивности восстановления

При последовательном соединении элементов интенсивность отказов системы может быть очень велика. Среднее время восстановления определяется как математическое ожидание времени восстановления при отказах всех элементов, следовательно, оно зависит не только от времени восстановления элементов, но и от вероятности отказов этих элементов.

В установке или системе с однократным резервированием имеются два элемента. При отказе одного из них система остаётся работоспособной, отказавший элемент восстанавливается. Если за время восстановления одного элемента второй не откажет, то опасный режим проходит без последствий. Если же за время восстановления отказавшего элемента отказывает второй, то система теряет работоспособность до восстановления одного из отказавших элементов.

При постоянном резервировании и ограниченном восстановлении (восстанавливаться может только один элемент) система может находиться в трёх состояниях:

–работоспособны оба элемента;

–работоспособен только один из элементов;

–оба элемента не работоспособны.

Граф переходов из состояния в состояние с обозначением вероятностей переходов за время dt представлен на рис.3.7.

Рис.3.7. Граф переходов для системы из трёх состояний

Дифференциальные уравнения для вероятностей состояний:

,

,

.

Начальные условия: – полная группа событий;.

Уравнения (3.3) решаются с помощью преобразования Лапласа:

,

где .

Вероятность застать систему в работоспособном состоянии

.

При достаточно большом процесс переходов стабилизируется, наступает установившийся режим иперестает зависеть от времени

. (3.4)

При резервировании замещением (резервный элемент может отказать только после того, как его включили после отказавшего ocновного) и ограниченном восстановлении граф переходов принимает вид, представленный на рис.3.8.

Рис.3.8. Граф состояний

Дифференциальные уравнения вероятностей состояний, соответствующих этому графу:

,

,

.

При тех же начальных условиях решение для имеет вид

,

где .

Вероятность застать систему в одном из работоспособных состояний а при

.

Для определения вероятности безотказной работы граф переходов следует изменить (рис.3.9).

Рис.3.9. Граф переходов

При начальных условиях решение будет

,

где

для постоянного резервирования;

–для резервирования замещением; (3.8)

; . (3.9)

Пример 5. Определить показатели надежности СЭС с двумя кабельными линиями 6 кВ: ; длительность восстановления;год.

Решение. Для одного кабеля: ,.

По (3.3) ;

.

При двух кабелях в случае постоянного резервирования: по (3.4) по (3.9)по (3.7)лет. По (3.6).

При двух кабелях и резервировании, замещением по (3.5) по (3.8)лет. По (3.6).

Для системы кабельных линий резервирование замещением лишь незначительно повышает готовность и безотказность. Предпочтение следует отдать постоянному резервированию, так как при нём вследствие снижения нагрева увеличивается долговечность кабеля.