2.5 Точность оценки. Доверительная вероятность (надёжность). Доверительный интервал

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Пусть для параметра a случайной величины получена оценка . Мы хотим оценить возможную при этом ошибку; δ – точность оценки.

Надежностью (доверительной вероятностью) называют вероятность, с которой выполняется неравенство ,

Тогда

,

т.е. с вероятностью β неизвестное значение параметра a попадет в интервал (рис. 2.4)

,

или это вероятность того, что данный интервал заключает в себе неизвестный параметр α.

Р ис. 2.4. Доверительный интервал, верхняя α_В и нижняя границы а_Н

возможного изменения параметра а при доверительной вероятности 

Ширина доверительного интервала характеризует точность выборочной оценки, а доверительная вероятность β – достоверность оценки. Чем меньше β, тем шире доверительный интервал. В энергетике β принимается обычно в пределах 0,8...0,99. Для разных законов распределения величины табулированы.

Пример. За год эксплуатации зарегистрирован m=21 случайных отказов воздушных выключателей при отключении ими коротких замыканий. Число эксплуатируемых выключателей в этом году составляло . Оценить средний параметр потока отказов и его доверительные границы с доверительной вероятностью .

Решение. Примем гипотезу об экспоненциальном распределении для наработки на отказ, используя следующие выражения:

год^-1,

год^-1,

год^-1.

2.6 Контроль показателей качества и надёжности

При массовом производстве электротехнических изделий (различного рода реле, контакторов, низковольтных выключателей, предохранителей, сигнальных и освежительных ламп и т.п.) нет возможности для тщательной проверки каждого. При мелкосерийном производстве (например, высоковольтной аппаратуры) такая проверка может быть экономически нецелесообразной. В этих случаях проводится выборочный статистический контроль качества и надёжности, когда о генеральной совокупности судят по выборочной. Статистический контроль может проводиться либо в процессе производства (текущий, предупредительный контроль), либо по окончании цикла производства (приёмочный контроль). Приемочный контроль осуществляется у изготовителя (выходной контроль) и у потребителя изделий (входной контроль).

Если качество контролируемых изделий, характеризуется совокупностью результатов измерений, составляющих функцию от некоторого аргумента (возможно, векторного), то такой контроль называют контролем по функциональному признаку.

Пример. При контроле участка провода (кабеля) длиной L результаты измерений диаметра d(l) на расстоянии l от его начала определяют значение функции d(l), .

Есть три наиболее распространённых метода контроля: однократной выборки, двукратной выборки, последовательных испытаний.

При методе однократной выборки из контролируемой партии изделий отбирается случайным образом выборка фиксированного объёма n. Все изделия из выборки проверяют. Если d – число обнаруженных в выборке дефектных изделий – не более приёмочного числа с, то принимают решение D_j – принять партию; если d > с, то принимают решение D_i – забраковать партию (направить на сплошной контроль или переделку).

При методе двукратной выборки из контролируемой партии изделий также случайным образом вначале берут случайную выборку объёма n₁. По характеристикам качества и надёжности этой выборки принимается одно из трёх решений:

1) принять партию (решение D_j), если число d₁ дефектных изделий в этой выборке не более с₁;

2) забраковать партию (решение D_i), если ;

3) произвести ещё одну выборку объёма n₂, если .

Пусть d₂ – число дефектных изделий, обнаруженных во второй выборке, тогда, если , то партию принимают с решением D_j. Если , то партию бракуют.

При методе последовательных испытаний объём испытаний заранее не задаётся. Из контролируемой партии последовательно, но случайным образом берутся изделия (по одному или по нескольку) и определяются, их характеристики качества и надёжности. По этим характеристикам принимается одно из трёх решений: 1) принять партию; 2) забраковать партию; 3) продолжить испытания. Испытания заканчиваются, когда принимается первое или второе решение.

По результатам последовательных испытаний составляют последовательность ε₁, ε₂, в которой , если i-е изделие, отобранное для контроля, оказалось дефектным, и , если годным.

Результаты последовательных испытаний можно представить в виде движения по точкам решётки (k,d). Начальной точкой является (0,0). При обнаружении годного изделия сдвигаемся из точки (k,d) в точку (k+1,d). При обнаружении дефектного изделия сдвигаемся из точки (k,d) в точку (k,d+1). В результате контроля n изделий достигается точка (k_n ,d_n)

Т очку (k,d) называют достижимой, если из начала координат в ней существует путь. Эту точку называют проходимой, если существует путь, для которого она не является последней. Достижимую точку, не являющуюся проходимой, называют граничной точкой. Граничные точки образуют границы. При достижении границы испытания прекращают.

Рис. 2.5. Последовательные испытания изделий на надежность

Пример. Верхняя часть границы плана испытаний определяется ближайшими точками (k,d), лежащими не ниже прямой (рис.2.5). Нижняя часть границы определяется точками (k,d) ближайшими к прямой , но лежащими ниже этой прямой. Последовательный план испытаний с границей называют планом Вальда. Здесь

18