Механика_сплошной_среды_

проницаемую для жидкости. На рис. 2.5 показан случай, когда

вектор dS площадки располагается под произвольным углом к

Обыкновенно этой формулой пользуются при вычислении расхо-

21

– масса жидкости, вытекающей из области (V ) за единицу време-

ни.

Пусть область (V ) мала; обозначим еѐ (dV ). Тогда из (2.5) полу-

б) Найти расход через всю поверхность конуса.

Начертим конус (рис. 2.6). Равенство z 3 есть урав-

а) Уравнение конической поверхности запишем так:

Единичный вектор, нормальный к боковой поверхности конуса, равен

Находим скалярное произведение:

Подставим в формулу расхода (2.2):

22

На поверхности конуса выполняется равенство z 2x2 y 2 . Подставим это значение:

радиуса 32 .

Для вычисления интеграла перейдѐм к полярной системе координат r, . Тогда

Отрицательность расхода означает, что жидкость в основном втекает через боковую поверхность конуса.

б) Вся поверхность конуса является замкнутой поверхностью, внутри которой находится весь конус (V ), поэтому можно воспользоваться формулой Остро-

градского-Гаусса. Но сначала найдѐм дивергенцию вектора скорости:

По формуле расхода (2.2) имеем

23

2.4. Расход при стационарном течении.

Течение называют стационарным, когда скорость не зависит от времени.

Рассмотрим течение жидкости в каком-либо трубопроводе через поперечные сечения (S1 ) и (S2 ) За единицу времени через сечение

(S1 ) втекает объѐм V1 v1S1, а через (S2 ) вытекает объѐм V2 v2S2 . Так как жидкость практически несжимаема, то в пространстве меж-

ду (S1 ) и (S2 ) объѐм жидкости не меняется. Значит, объѐм входящей жидкости через сечение (S1 ) равен объѐму выходящей жидкости че-

Следовательно, там, где сечение больше, скорость меньше.

2.5. Одномерное течение. Уравнение Эйлера

Течение в одном направлении (вдоль определѐнной линии) назы-

вается одномерным.

В пространстве, где течѐт жидкость, выделим неподвижный бесконечно малый объѐм (dV ) в виде прямоугольного параллелепипеда

(рис. 2.4). Введѐм систему координат Oxyz. Обозначив размеры па-

где – плотность жидкости. Укажем силы, действующие на эту мас-

су (рис. 2.4).

24

Разделив обе части на , получим окончательно

2.6. Уравнение Бернулли

Рассмотрим стационарное течение вдоль оси Oy. При стационар-

ном течении скорость со временем не меняется, поэтому v / t 0. Уравнение Эйлера (2.8) примет вид

У несжимаемой жидкости const. В этом случае равенство (2.9) запишется так:

v2 gz p C. 2

26

Умножив все члены на , получим

З а д а ч а 1. В наклонном трубопроводе течѐт вода (рис. 2.6). В сечениях с диаметрами d1 0.25 м и d2 0.1 м производится замер давлений. Разница дав-

лений оказалась равной h 0.1м ртутного столба. Определить расход воды, если в 1000 кг/м3, рт 13600 кг/м3.

В обоих сечениях расход одинаков: V v1S1, V v2 S2 . Составим уравнение Бернулли для этих сечений:

Отсюда

27

2.7. Скорость ударной волны

Гидравлический удар – резкое увеличение давления в трубопроводе при внезапной остановке движения в жидкости.

Гидравлический удар возникает при быстром закрытии задвижки, крана, при внезапной остановке насоса. Особенно опасен гидроудар в длинном трубопроводе, в котором движется большая масса жидкости с большой скоростью.

Представим себе горизонтальную трубу постоянного сечения S , в которой жидкость или газ, имеющий плотность и давление p, движется влево со средней скоростью v (рис. 2.7).

Рис. 2.7

В момент времени t 0 быстро закроем задвижку. Передний, первый слой жидкости, столкнувшись с задвижкой, отразится вправо. Однако на него набежит второй слой, увеличит в нѐм давление и отразится. На второй слой набежит третий, увеличит давление и отразится. И т.д.

Таким образом, граница участка повышенного давления p p и повышенной плотности будет перемещаться в правую сторо-

ну, против течения жидкости, с некоторой скоростью, называемой

скоростью распространения волны давления (или ударной волны).

Обозначим через c скорость распространения волны давления в неподвижной жидкости. За время t волна давления должна была бы пройти вправо путь c t (рис. 2.6). Однако за это время набегающее течение снесѐт волну давления назад на расстояние v t. Поэтому в действительности волна давления пройдѐт путь

c t v t (c v) t.

28

Объѐм этого участка V S (c v) t, масса m ( )S(c v) t. До момента t 0 (до столкновения с задвижкой) эта масса имела

С другой стороны, за время t давление на задвижку возросло наp, поэтому сила на задвижку возросла на S . Значит, за время

m ( )S (c v) t. Если бы масса m не была сжата, она имела бы первоначальную плотность и занимала бы участок длины c t, т.е. было бы m Sc t. Значит, ( )S (c v) t Sc t,

Обычно v c, т.е. скорость движения частиц пренебрежимо мала

по сравнению со скоростью распространения ударной волны. Поэтому v c. Подстановка в (д) даѐт

Формула вычисления скорости ударной волны,

а также скорости звука в жидкости или газе

2.8. Скорость звука в газе

Зависимость плотности от давления ярко проявляется у газов: при увеличении давления на газ его плотность увеличивается. Кроме того, газ при сжатии нагревается. Теплопроводность у газа мала, поэтому тепло не успевает уходить из нагретых областей. Это значит, что для газа сжатие является адиабатным процессом (т.е. без

29

передачи тепла). Адиабатный процесс для идеального газа описывается уравнением

При сжатии масса не меняется. Пусть m, V – масса газа и его

Получилась формула определения скорости звука в газе.

2.9.Решение уравнения Эйлера для газа

исжимаемой жидкости

Воспользуемся равенством (2.9), в котором не использовалось условие несжимаемости. Подставим (2.13) в (2.9). Получим

30